Решебник по геометрии 11 класс. Атанасян ФГОС 124

\[\boxed{\mathbf{124.}ОК\ ГДЗ\ –\ домашка\ на\ 5}\]

\[Дано:\]

\[PQ \parallel \alpha;\]

\[PP_{1}\bot\alpha;\]

\[PP_{1} \cap \alpha = P_{1};\]

\[QQ_{1} \cap \alpha = Q_{1};\]

\[QQ_{1}\bot\alpha.\]

\[Доказать:\]

\[PQ = P_{1}Q_{1}.\]

\[Доказательство.\]

\[1)\ Рассмотрим\ плоскость\ \]

\[PP_{1}Q_{1}Q:\]

\[PP_{1}\bot\alpha,\ QQ_{1}\bot\alpha,\ \]

\[следовательно\ PP_{1} \parallel QQ_{1},\ как\ \]

\[перпендикулярные\ к\ одной\ \]

\[плоскости;\]

\[2)\ PP_{1} \cap \alpha = P_{1}:\]

\[P_{1} \in \alpha.\]

\[3)\ QQ_{1} \cap \alpha = Q_{1}:\ \]

\[Q_{1} \in \alpha.\]

\[4)\ P_{1},\ Q_{1} \in \alpha\ и\ \alpha \parallel PQ:\ \]

\[PQ \parallel P_{1}Q_{1}.\]

\[По\ признаку:\]

\[PP_{1}Q_{1}Q - параллелограмм.\]

\[Отсюда:\ \]

\[PQ = P_{1}Q_{1}\ \]

\[(по\ свойству\ параллелограмма).\]

\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]