Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаРешебник по геометрии 10 класс Атанасян ФГОС 865
865
\[\boxed{\mathbf{865.}ОК\ ГДЗ\ –\ домашка\ на\ 5}\]
\[Дано:\]
\[\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{4} = 1;\]
\[\textbf{а)}\ r = \sqrt{7};\]
\[O(0;0);\]
\[\textbf{б)}\ r = 2\]
\[O(2;0).\]
\[Найти:\]
\[расположение.\]
\[Решение.\]
\[\textbf{а)}\ Составим\ уравнение\ \]
\[окружности:\]
\[r^{2} = \left( x + x_{0} \right)^{2} + \left( y + y_{0} \right)^{2} =\]
\[= x^{2} + y^{2} = 7\]
\[y^{2} = 7 - x^{2}.\]
\[Подставим\ уравнение\ \]
\[окружности\ в\ уравнение\ \]
\[эллипса\ и\ найдем\ корни:\]
\[\frac{x^{2}}{16} + \frac{7 - x^{2}}{4} = 1\ \]
\[x^{2} + 28 - 4x^{2} = 16\]
\[3x^{2} = 12\ \]
\[x_{1} = 2\ \ и\ x_{2} = - 2.\]
\[Значит:\ \]
\[y^{2} = 7 - 2 = 3\ \]
\[y_{1} = \sqrt{3}\text{\ \ }и\ \ y_{2} = - \sqrt{3}.\]
\[\textbf{б)}\ Составим\ уравнение\ \]
\[окружности:\]
\[r^{2} = \left( x + x_{0} \right)^{2} + \left( y + y_{0} \right)^{2} =\]
\[= (x - 2)^{2} + y^{2} = 4\]
\[y^{2} = 4 - (x - 2)^{2} = 4x - x^{2}.\]
\[Подставим\ уравнение\ \]
\[окружности\ в\ уравнение\ \]
\[эллипса\ и\ найдем\ корни:\]
\[\frac{x^{2}}{16} + \frac{4x - x^{2}}{4} = 1\ \]
\[x^{2} - 4x^{2} + 16x = 16\]
\[3x^{2} - 16x + 16 = 0\]
\[x_{1} = 4\ \ и\ x_{2} = \frac{4}{3}.\]
\[Значит:\ \]
\[y_{1}^{2} = 4 \bullet 4 - 4^{2} = 0\]
\[y_{1} = 0;\ \]
\[y_{2}^{2} = 4 \bullet \frac{4}{3} - \frac{16}{9} = \frac{16}{3} - \frac{16}{9} = \frac{32}{9}.\]
\[Отсюда:\]
\[y_{21} = \frac{4\sqrt{2}}{3}\ \ и\ \ y_{22} = - \frac{4\sqrt{2}}{3}.\]
\[\mathbf{Ответ}:\ \ \]
\[\textbf{а)}\ пересекаются\ в\ точках\ \]
\[\left( 2;\sqrt{3} \right);\left( 2; - \sqrt{3} \right);\left( - 2;\sqrt{3} \right);\]
\[\left( - 2; - \sqrt{3} \right);\]
\[\textbf{б)}\ касаются\ в\ точке\ (4;0)\text{\ \ }и\ \]
\[пересекаются\ в\ точках\ \]
\[\left( \frac{4}{3};\frac{4\sqrt{2}}{3} \right);\left( \frac{4}{3}; - \frac{4\sqrt{2}}{3} \right).\]
