Решебник по геометрии 10 класс Атанасян ФГОС 860

\[\boxed{\mathbf{860.}ОК\ ГДЗ\ –\ домашка\ на\ 5}\]

\[Дано:\ \ \]

\[\mathrm{\Delta}ABC;\ \ \]

\[окружность\ пересекает\ \mathrm{\Delta}\text{ABC\ }в\ \]

\[точках\ A_{1},A_{2} \in BC,\]

\[B_{1},B_{2} \in AC,\ \ \ \ C_{1},C_{2} \in AB.\ \ \]

\[Доказать:\ \ \]

\[AA_{1},BB_{1},CC_{1}\ пересекаются\ в\ \]

\[одной\ точке\ только\ тогда,\ \]

\[когда\ AA_{2},BB_{2}\ и\ CC_{2}\ \]

\[пересекаются\ в\ одной\ точке.\]

\[Доказательство.\]

\[1)\ По\ теореме\ о\ двух\ секущих\ \]

\[из\ одной\ точки:\]

\[AC_{1} \bullet AC_{2} = AB_{2} \bullet AB_{1} \rightarrow \frac{AC_{1}}{AB_{1}} =\]

\[= \frac{AB_{2}}{AC_{2}};\]

\[BA_{1} \bullet BA_{2} = BC_{2} \bullet BC_{1} \rightarrow \ \frac{BA_{1}}{BC_{1}} =\]

\[= \frac{BC_{2}}{BA_{2}};\]

\[CA_{1} \bullet CA_{2} = CB_{2} \bullet CB_{1} \rightarrow \ \frac{CB_{1}}{CA_{1}} =\]

\[= \frac{CA_{2}}{CB_{2}}.\]

\[2)\ Таким\ образом:\ \ \ \]

\[\frac{AC_{1}}{BC_{1}} \bullet \frac{BA_{1}}{CA_{1}} \bullet \frac{CB_{1}}{AB_{1}} =\]

\[= \frac{AC_{1}}{AB_{1}} \bullet \frac{BA_{1}}{BC_{1}} \bullet \frac{CB_{1}}{CA_{1}} =\]

\[= \frac{AB_{2}}{AC_{2}} \bullet \frac{BC_{2}}{BA_{2}} \bullet \frac{CA_{2}}{CB_{2}}.\]

\[Следовательно,\ по\ теореме\ \]

\[Чевы:\ \]

\[если\ AA_{1},BB_{1},CC_{1}\ \]

\[пересекаются\ в\ одной\ точке,\ \]

\[то\ и\ AA_{2},BB_{2},CC_{2}\ \]

\[пересекаются\ в\ одной\ точке.\]

\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]