Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаРешебник по геометрии 10 класс Атанасян ФГОС 855
855
\[\boxed{\mathbf{855.}ОК\ ГДЗ\ –\ домашка\ на\ 5}\]
\[Дано:\ \ \]
\[ABCD - четырехугольник;\ \]
\[K \in AB;L \in BC;\]
\[M \in CD;\ N \in AD.\]
\[Доказать:\ \ \]
\[\textbf{а)}\ KL,MN,AC - пересекаются\ в\ \]
\[одной\ точке\ или\ параллельны\]
\[только\ тогда,\ когда\]
\[\frac{\text{AK}}{\text{KB}} \bullet \frac{\text{BL}}{\text{LC}} \bullet \frac{\text{CM}}{\text{MD}} \bullet \frac{\text{DN}}{\text{NA}} = 1;\]
\[\textbf{б)}\ KL,MN,AC - пересекаются\ в\ \]
\[одной\ точке\ или\ параллельны\ \]
\[только\ тогда,\ когда\ и\ прямые\ \]
\[KN,LM\ и\ \text{BD.}\]
\[Доказательство.\]
\[\textbf{а)}\ Пусть\ \text{KL\ }и\ \text{CA\ }пересекаются\ \]
\[в\ точке\ E;\ \]
\[\text{MN\ }и\ \text{AC}\ пересекаются\ в\ \]
\[точке\ E_{1}.\]
\[По\ теореме\ Менелая\ в\ \mathrm{\Delta}\text{ABC\ }и\ \]
\[\mathrm{\Delta}ACD:\]
\[Тогда:\ \ \]
\[\frac{\text{CE}}{\text{AE}} \bullet \frac{AE_{1}}{CE_{1}} = \frac{\text{CL}}{\text{BL}} \bullet \frac{\text{BK}}{\text{AK}} \bullet \frac{\text{DM}}{\text{CM}} \bullet \frac{\text{AN}}{\text{DN}} =\]
\[= 1.\]
\[Значит:\ \]
\[CE \bullet AE_{1} = AE \bullet CE_{1}\text{\ \ }\]
\[\text{CE}\left( AE + EE_{1} \right) = AE\left( CE + EE_{1} \right)\]
\[(CE - AE)EE_{1} = 0,\ но\ \text{CE} \neq \text{AE.}\]
\[Следовательно:\]
\[EE_{1} = 0\ \]
\[\left( точки\ \text{E\ }и\ E_{1}\ совпадают \right);\]
\[KL,MN\ и\ AC - пересекаются\ в\ \]
\[одной\ точке.\]
\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]
\[\textbf{б)}\ Пусть\ KN,\ LM\ и\ BD -\]
\[пересекаются\ в\ одной\ точке\ \text{F.}\]
\[По\ теореме\ Менелая\ для\ \mathrm{\Delta}ABD\ \]
\[и\ \mathrm{\Delta}CBD:\]
\[Тогда:\]
\[\frac{\text{BL}}{\text{CL}} \bullet \frac{\text{CM}}{\text{DM}} \bullet \frac{\text{DF}}{\text{BF}} =\]
\[= \frac{\text{BL}}{\text{CL}} \bullet \frac{\text{CM}}{\text{DM}} \bullet \frac{\text{DN}}{\text{NA}} \bullet \frac{\text{AK}}{\text{BK}} = 1.\]
\[Следовательно:\]
\[для\ прямых\ KL,MN,AC\ также\ \]
\[верно\ это\ условие.\]
\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]
