Решебник по геометрии 10 класс Атанасян ФГОС 849

\[\boxed{\mathbf{849.}ОК\ ГДЗ\ –\ домашка\ на\ 5}\]

\[Дано:\ \ \]

\[\mathrm{\Delta}ABC;\ \ \]

\[AD - биссектриса;\ \ \]

\[AH - высота;\ \ \]

\[AM - медиана;\]

\[вписанная\ окружность\ \]

\[касается\ BC\ в\ точке\ \text{K.}\]

\[Доказать:\ \text{\ \ }\]

\[MK^{2} = MD \bullet MH.\]

\[Доказательство\]

\[1)\ \ Пусть\ AB = c,\ BC = a,\ \]

\[CA = b,\ при\ этом\ b > c.\]

\[2)\ BK_{1} = BK,\ CK = CK_{2}\ и\ \ \]

\[AK_{1} = AK_{2}\ \]

\[(как\ касательные\ из\ одной\ точки):\]

\[BK + CK + AK_{1} = \frac{a + b + c}{2} = p\]

\[CK = p - \left( BK_{1} + K_{1}A \right) = p - c.\]

\[3)\ AM - медиана:\]

\[BM = MC = \frac{a}{2};\ \ \]

\[MK = KC - MC = p - c - \frac{a}{2} =\]

\[= \frac{a + b - c}{2} - \frac{a}{2} = \frac{b - c}{2}.\]

\[4)\ BD = \frac{\text{ac}}{b + c} - по\ свойству\ \]

\[биссектрисы:\]

\[CD = BC - BD = a - \frac{\text{ac}}{b + c} =\]

\[= \frac{\text{ab}}{b + c};\]

\[MD = CD - MC = \frac{\text{ab}}{b + c} - \frac{a}{2} =\]

\[= \frac{ab - ac}{2(b + c)} = \frac{a(b - c)}{2(b + c)}.\]

\[5)\ MH = CH - MC =\]

\[= b \bullet \cos C - \frac{a}{2} =\]

\[= \frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{2a} - \frac{a}{2} = \frac{b^{2} - c^{2}}{2a}.\]

\[6)\ Таким\ образом:\ \ \]

\[MH \bullet MD = \frac{a(b - c)}{2(b + c)} \bullet \frac{b^{2} - c^{2}}{2a} =\]

\[= \frac{(b - c)^{2}}{4} = MK^{2}.\]

\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]