ОКГДЗдомашкана844.ОК ГДЗ – домашка на 5
ДаноДано:
ΔABC;
вписаннаяокружностьвписанная окружность (O,r)
касаетсявточкахкасается ΔABC в точках
M∈AC,N∈BC,L∈AB;
описаннаяокружностьописанная окружность
радиусарадиуса R.
ДоказатьДоказать:
SLMNSABC=r2R.
ДоказательствоДоказательство.
1) OL=OM=ON=r;
∠LOM=180∘−∠A:
sin∠LOM=sin∠A;
SLOMSABC=12∙r∙r∙sin∠LOM12∙AB∙AC∙sin∠A=
=r2AB∙AC.
АналогичноАналогично:
SMONSABC=r2CA∙CB;\ \
SNOLSABC=r2BA∙BC.
2) SLMN=SLOM+SMON+SNOL=
=r2(AB+BC+CA)AB∙BC∙CA∙SABC.
3) SABC=pr=
=AB+BC+CA2∙r :
4) SABC=AB∙BC∙AC4R:
SLMNSABC=
=2rAB∙BC∙CA∙AB∙BC∙AC4R=
=r2R.
ЧтоитребовалосьдоказатьЧто и требовалось доказать.