Решебник по геометрии 10 класс Атанасян ФГОС 844

$$\boxed{{\displaystyle \mathbf{844.}ОКГДЗ–домашкана5}}$$

$$Дано:$$

$$\mathrm{\Delta }ABC;$$

$$вписаннаяокружность(O,r)$$

$$касается\mathrm{\Delta }ABCвточках$$

$$M\in AC,N\in BC,L\in AB;$$

$$описаннаяокружность$$

$$радиуса\text{R.}$$

$$Доказать:$$

$$\frac{S_{\text{LMN}}}{S_{\text{ABC}}}=\frac{r}{2R}.$$

$$Доказательство.$$

$$1)OL=OM=ON=r;$$

$$\mathrm{\angle }LOM=180{}^{\circ }-\mathrm{\angle }A:$$

$$\sin \mathrm{\angle }LOM=\sin \mathrm{\angle }A;$$

$$\frac{S_{\text{LOM}}}{S_{\text{ABC}}}=\frac{\frac{1}{2}\bullet r\bullet r\bullet \sin \mathrm{\angle }LOM}{\frac{1}{2}\bullet AB\bullet AC\bullet \sin \mathrm{\angle }A}=$$

$$=\frac{r^2}{AB\bullet AC}.$$

$$Аналогично:$$

$$\frac{S_{\text{MON}}}{S_{\text{ABC}}}=\frac{r^2}{CA\bullet CB};\text{ }$$

$$\frac{S_{\text{NOL}}}{S_{\text{ABC}}}=\frac{r^2}{BA\bullet BC}.$$

$$2)S_{\text{LMN}}=S_{\text{LOM}}+S_{\text{MON}}+S_{\text{NOL}}=$$

$$=\frac{r^2(AB+BC+CA)}{AB\bullet BC\bullet CA}\bullet S_{\text{ABC}}.$$

$$3)S_{\text{ABC}}=pr=$$

$$=\frac{AB+BC+CA}{2}\bullet r:$$

$$4)S_{\text{ABC}}=\frac{AB\bullet BC\bullet AC}{4R}:$$

$$\frac{S_{\text{LMN}}}{S_{\text{ABC}}}=$$

$$=\frac{2r}{AB\bullet BC\bullet CA}\bullet \frac{AB\bullet BC\bullet AC}{4R}=$$

$$=\frac{r}{2R}.$$

$$Чтоитребовалосьдоказать.$$