Решебник по геометрии 10 класс Атанасян ФГОС 813

\[\boxed{\mathbf{813.}ОК\ ГДЗ\ –\ домашка\ на\ 5}\]

\[Дано:\ \ \]

\[полукруг;\ \ \]

\[прямая\ AB;\ \ \]

\[шар,\ образованный\ вращением\ \]

\[полукруга\ вокруг\ AB;\]

\[хорда\ AC;\ \ \]

\[поверхность,\ образованная\ \]

\[вращением\ хорды\ вокруг\ \text{AB\ }\]

\[делит\ объем\ шара\ на\ две\ \]

\[равные\ части.\]

\[Найти:\ \]

\[\cos{\angle CAB}.\]

\[Решение.\]

\[1)\ Пусть\ AB - диаметр\ \]

\[полукруга,\ \angle CAB = a\text{.\ }\]

\[Отметим\ точку\ O - на\ середине\ \]

\[отрезка\ AB:\]

\[O - центр\ полукруга\ и\ \]

\[полученного\ шара.\]

\[Построим\ перпендикуляр\ OK\ к\ \]

\[хорде\ \text{AC\ \ }и\ \ перпендикуляр\ \text{CD\ }\]

\[к\ диаметру\ AB.\]

\[2)\ Таким\ образом:\ \]

\[объем\ тела,\ полученного\ \]

\[вращением\ дуги\ \text{ANC\ }вокруг\ \]

\[AB\ \ будет\ равен\ разности\ \]

\[объемов\ шарового\ сегмента,\ \]

\[полученного\ вращением\ ANCD\ \]

\[и\ конуса,\ полученного\ \]

\[вращением\ \mathrm{\Delta}\text{ACD.}\]

\[3)\ V_{\text{ANC}} =\]

\[= \pi \bullet AD^{2} \bullet \left( r - \frac{\text{AD}}{3} \right) - \frac{\pi \bullet DC^{2} \bullet AD}{3};\]

\[AC = 2AK = 2R \bullet \cos a;\ \ \ \]

\[AD = AC \bullet \cos a = 2R \bullet \cos^{2}a.\]

\[DC = AC \bullet \sin a =\]

\[= 2R \bullet \cos a \bullet \sin a:\]

\[4)\ V_{\text{ANC}} = \frac{1}{2}V_{шара}\ (по\ условию):\]

\[\frac{4}{3}\pi R^{3} \bullet \cos^{4}a = \frac{1}{2} \bullet \frac{4}{3}\pi R^{3}\]

\[\cos a = \sqrt[4]{\frac{1}{2}}.\]

\[Ответ:\ \ \sqrt[4]{\frac{1}{2}}.\]