ОКГДЗдомашкана759.ОК ГДЗ – домашка на 5
ДаноДано:
∠(CABD)=φ<90∘;
AC⊥AB;
∠DAB=θ.
НайтиНайти:
cos∠CAD.
РешениеРешение.
Източкипроведем1) Из точки A проведем
OA⊥AB:
φ∠CAO=φ.
Отложим2) Отложим AC=AO.
ПроведемотрезокизточкиПроведем отрезок CO;из точки
проведемлучпересекающийO\ проведем луч, пересекающий
лучлуч AD
вточкев точке D: OD∥AB.
Таккак3) Так как OD∥AB;OA⊥AB:
OD⊥OA.
Потеоремеотрех4) По теореме о трех
перпендикулярахперпендикулярах:
CO⊥OD.
Пусть5) Пусть AD=a.
AO=a⋅sinθ;
OD=a⋅cosθ.
Втреугольнике6) В треугольнике OAC
потеоремекосинусов(по теореме косинусов):
CO2=
=OA2+AC2−2AC⋅AO⋅cosφ
=2a2⋅sin2θ⋅(1−cos2φ).
⊿прямоугольный7) ⊿COD−прямоугольный:
CD2=OC2+OD2
CD2=
θ=2a2⋅sin2θ⋅(1−cos2φ)+a2cos2θ.
Потеоремекосинусовв8) По теореме косинусов в
⊿⊿CAD\ (∠CAD=x):
=CA2+AD2−2⋅CA⋅AD⋅cosx
=a2⋅sin2θ+a2−2a2sinθ⋅cosx
2sin2θ−2sin2θcosφ+cos2θ=
=sin2θ+1−2sinθcosx
sin2θ−2sin2θcosφ+cos2θ−1=
=−2sinθcosx
1−2sin2θcosφ−1=
2sin2θcosφ=2sinθcosx
sinθ≠0:
sinθcosφ=cosx;
cos∠CAD=sinθcosφ.
ОтветОтвет: sinθcosφ.