Решебник по геометрии 10 класс Атанасян ФГОС 634

\[\boxed{\mathbf{634.}ОК\ ГДЗ\ –\ домашка\ на\ 5}\]

\[Дано:\ \ \]

\[ABCD - тетраэдр;\ \ \]

\[\text{M\ }и\ N - точки\ пересечения\ \]

\[медиан;\]

\[\mathrm{\Delta}\text{ADB\ }и\ \mathrm{\Delta}\text{BDC.}\]

\[Доказать:\ \]

\[MN \parallel AC.\ \ \]

\[Найти:\ \ MN\ :AC.\]

\[Решение.\]

\[1)\ Пусть\ точка\ E - середина\ \]

\[BD;\ \ \ \]

\[\text{M\ }и\ N - точки\ пересечения\ \]

\[медиан\ \mathrm{\Delta}\text{ADB\ }и\ \mathrm{\Delta}BDC:\]

\[M \in AE\ и\ N \in CE.\]

\[2)\ \overrightarrow{\text{AE}} = 3\overrightarrow{\text{ME}}\ \ и\ \ \overrightarrow{\text{EC}} = 3\overrightarrow{\text{EN}}:\]

\[\overrightarrow{\text{AC}} = \overrightarrow{\text{AE}} + \overrightarrow{\text{EC}} = 3\overrightarrow{\text{ME}} + 3\overrightarrow{\text{EN}} =\]

\[= 3\left( \overrightarrow{\text{ME}} + \overrightarrow{\text{EN}} \right) = 3\overrightarrow{\text{MN}}.\]

\[3)\ \overrightarrow{\text{AC}} = 3\overrightarrow{\text{MN}}:\]

\[векторы\ \overrightarrow{\text{AC}}\ и\ \overrightarrow{\text{MN}} -\]

\[коллинеарны;\]

\[AC \parallel MN.\]

\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]

\[4)\frac{\text{MN}}{\text{AC}} = \frac{\left| \overrightarrow{\text{MN}} \right|}{\left| \overrightarrow{\text{AC}} \right|} = \frac{1}{3}.\]

\[Ответ:\ \frac{\text{MN}}{\text{AC}} = \frac{1}{3}.\]