Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаРешебник по геометрии 10 класс Атанасян ФГОС 620
620
\[\boxed{\mathbf{620.}ОК\ ГДЗ\ –\ домашка\ на\ 5}\]
\[Дано:\ \ \]
\[числа\ k \neq \text{l.\ }\]
\[Доказать:\ \ \]
\[если\ векторы\ \overrightarrow{a} + k\overrightarrow{b}\ и\ \overrightarrow{a} + l\overrightarrow{b}\ не\ \]
\[коллинеарны,\ то\ векторы:\]
\[\textbf{а)}\ \overrightarrow{a}\ и\ \overrightarrow{b}\ не\ коллинеарны;\ \ \]
\[\textbf{б)}\ \overrightarrow{a} + k_{1}\overrightarrow{b}\ и\ \overrightarrow{a} + l_{1}\overrightarrow{b}\ не\ \]
\[коллинеарны\ при\ любых\ \]
\[неравных\ значениях\ k_{1}\ и\ l_{1}.\]
\[Доказательство.\]
\[\textbf{а)}\ Докажем\ от\ обратного.\]
\[Пусть\ векторы\ \overrightarrow{a}\ и\ \overrightarrow{b}\ \]
\[коллинеарны,\ тогда\ \]
\[существует\ такое\ число\ n,\]
\[что\ \overrightarrow{a} = n\overrightarrow{b}.\]
\[\overrightarrow{a} + k\overrightarrow{b} = n\overrightarrow{b} + k\overrightarrow{b} = (n + k)\overrightarrow{b};\ \]
\[\overrightarrow{a} + l\overrightarrow{b} = n\overrightarrow{b} + l\overrightarrow{b} = (n + l)\overrightarrow{b}.\]
\[Отсюда:\]
\[векторы\ \overrightarrow{a} + k\overrightarrow{b}\ \ и\ \overrightarrow{b},\ а\ также\ \]
\[\overrightarrow{a} + l\overrightarrow{b}\ и\ \overrightarrow{b} - коллинеарны;\]
\[векторы\ \overrightarrow{a} + k\overrightarrow{b}\ и\ \ \overrightarrow{a} + l\overrightarrow{b}\ \]
\[коллинеарны,\ что\ \]
\[противоречит\ условию\ задачи.\]
\[Значит:\ \]
\[векторы\ \overrightarrow{a}\ и\ \overrightarrow{b}\ не\ коллинеарны.\ \]
\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]
\[\textbf{б)}\ Докажем\ от\ обратного.\]
\[Пусть\ векторы\ \overrightarrow{a} + k_{1}\overrightarrow{b}\ и\ \overrightarrow{a} + l_{1}\overrightarrow{b}\ \]
\[коллинеарны,\ тогда\ существует\ \]
\[такое\ число\ n,\ что\ \]
\[\overrightarrow{a} + k_{1}\overrightarrow{b} = n\left( \overrightarrow{a} + l_{1}\overrightarrow{b} \right):\ \]
\[\overrightarrow{b} = \frac{1 - n}{nl_{1} + k_{1}}\overrightarrow{a};\]
\[векторы\ \overrightarrow{a}\ и\ \overrightarrow{b}\ коллинеарны.\]
\[По\ доказанному\ в\ пункте\ а)\ \]
\[векторы\ \ \overrightarrow{a} + k\overrightarrow{b}\ и\ \overrightarrow{a} + l\overrightarrow{b}\ \]
\[коллинеарны,что\ \]
\[противоречит\ условию\ задачи.\]
\[Получаем:\ \]
\[векторы\ \ \overrightarrow{a} + k_{1}\overrightarrow{b}\ и\ \overrightarrow{a} + l_{1}\overrightarrow{b}\ не\ \]
\[коллинеарны.\]
\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]
