Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаРешебник по геометрии 10 класс Атанасян ФГОС 591
591
\[\boxed{\mathbf{591.}ОК\ ГДЗ\ –\ домашка\ на\ 5}\]
\[\mathbf{Дано}\mathbf{:\ }\]
\[векторы\ \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}\ и\ \ \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}\ не\ \]
\[коллинеарны.\]
\[Доказать:\]
\[не\ коллинеарны\ векторы\ \]
\[\textbf{а)}\ \overrightarrow{a}\ и\ \overrightarrow{b};\ \ \]
\[\textbf{б)}\ \overrightarrow{a} + 2\overrightarrow{b}\ и\ 2\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}.\]
\[Доказательство.\]
\[\textbf{а)}\ Докажем\ от\ обратного.\]
\[Пусть\ векторы\ \overrightarrow{a}\ и\ \ \overrightarrow{b}\ \]
\[коллинеарны:\ \]
\[существует\ такое\ число\ k,\ что\ \]
\[\overrightarrow{a} = k\overrightarrow{b}.\]
\[Получаем:\]
\[\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} = k\overrightarrow{b} + \overrightarrow{b} = (k + 1)\overrightarrow{b};\text{\ \ }\]
\[\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} = k\overrightarrow{b} - \overrightarrow{b} = (k - 1)\overrightarrow{b}.\]
\[Значит,\ векторы\ \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}\text{\ \ }и\ \ \overrightarrow{b},\ а\ \]
\[также\ \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}\ и\ \overrightarrow{b}\ коллинеарны,\ \]
\[тогда\ векторы\ \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}\ и\ \ \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}\ \]
\[тоже\ коллинеарны,что\ \]
\[противоречит\ условию\ задачи.\]
\[Следовательно,\ векторы\ \overrightarrow{a}\ и\ \overrightarrow{b}\ \]
\[не\ коллинеарны.\]
\[\textbf{б)}\ Докажем\ от\ обратного.\]
\[Пусть\ векторы\ \overrightarrow{a} + 2\overrightarrow{b}\ и\ 2\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}\ \]
\[коллинеарны:\]
\[существует\ такое\ число\ k,\ что\ \]
\[\overrightarrow{a} + 2\overrightarrow{b} = k\left( 2\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} \right).\]
\[Тогда:\]
\[\overrightarrow{a} + 2\overrightarrow{b} = 2k\overrightarrow{a} - k\overrightarrow{b}\ \]
\[2\overrightarrow{b} + k\overrightarrow{b} = 2k\overrightarrow{a} - \overrightarrow{a}\]
\[(2 + k)\overrightarrow{b} = (2k - 1)\overrightarrow{a}\]
\[\overrightarrow{a} = \left( \frac{k + 2}{2k - 1} \right)\overrightarrow{b}.\]
\[Откуда:\ \]
\[\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} = \left( \frac{k + 2}{2k - 1} \right)\overrightarrow{b} + \overrightarrow{b} =\]
\[= \left( \frac{k + 2}{2k - 1} + 1 \right)\overrightarrow{b};\ \]
\[\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} = \left( \frac{k + 2}{2k - 1} \right)\overrightarrow{b} - \overrightarrow{b} =\]
\[= \left( \frac{k + 2}{2k - 1} - 1 \right)\overrightarrow{b}.\]
\[Следовательно:\]
\[векторы\ \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}\text{\ \ }и\ \ \overrightarrow{b},\ а\ также\ \]
\[\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}\ и\ \overrightarrow{b}\ коллинеарны,\ тогда\ \]
\[векторы\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}\ и\ \ \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}\ тоже\ \]
\[коллинеарны,\ что\ \]
\[противоречит\ условию\ задачи.\]
\[Следовательно:\ \]
\[векторы\ \overrightarrow{a} + 2\overrightarrow{b}\ и\ 2\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}\ не\ \]
\[коллинеарны.\]
\[Параграф\ 3.\ Компланарные\ векторы\]
