Решебник по геометрии 10 класс Атанасян ФГОС 553

\[\boxed{\mathbf{553.}ОК\ ГДЗ\ –\ домашка\ на\ 5}\]

\[Дано:\]

\[шар\ O;\]

\[ABCDM - вписанная\ пирамида;\]

\[ABCD - прямоугольник;\]

\[AC = 10\ см;\]

\[\angle MAH = \beta.\]

\[Найти:\]

\[S_{шара};\]

\[V_{шара}.\]

\[Решение.\]

\[1)\ MH - высота\ пирамиды\text{.\ }\]

\[2)\ \angle MAH = \angle MBH = \angle MCH =\]

\[= \angle MDH = \beta;\]

\[MH - общий\ катет;\]

\[\mathrm{\Delta}MBH = \mathrm{\Delta}MAH = \mathrm{\Delta}MCH =\]

\[= \mathrm{\Delta}MDH.\]

\[Отсюда:\]

\[BH = AH = DH = CH = r -\]

\[радиус\ описанной\ около\ \]

\[ABCD - окружности.\]

\[3)\ По\ теореме\ синусов\ в\ \mathrm{\Delta}MAC:\]

\[\frac{\text{AC}}{\sin{\angle AMC}} = \frac{\text{AC}}{\sin(180{^\circ} - 2\beta)} =\]

\[= 2R_{шара}\]

\[R_{шара} = \frac{10}{2\sin{2\beta}} = \frac{5}{\sin{2\beta}}.\]

\[4)\ Площадь\ шара:\]

\[S_{шара} = 4\pi R^{2} = \frac{4\pi \bullet 25}{\sin^{2}{2\beta}} =\]

\[= \frac{100\pi}{\sin^{2}{2\beta}}\ см^{2}.\]

\[5)\ V_{шара} = \frac{4}{3}\pi R^{3} = \frac{4 \bullet 125\pi}{3 \bullet \sin^{3}{2\beta}} =\]

\[= \frac{500\pi}{3\sin^{3}{2\beta}\ }\ см^{3}.\]

\[\mathbf{Отв}ет:\ \ S_{шара} = \frac{100\pi}{\sin^{2}{2\beta}}\ см^{2};\ \ \]

\[\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }V_{шара} = \frac{500\pi}{3\sin^{3}{2\beta}\ }\ см^{3}.\]