Решебник по геометрии 10 класс Атанасян ФГОС 287

\[\boxed{\mathbf{287.}ОК\ ГДЗ\ –\ домашка\ на\ 5}\]

\[Дано:\ \]

\[ребро = \text{a.}\]

\[Решение.\]

\[\textbf{а)}\ DB - расстояние\ между\ \]

\[противоположными\ \]

\[вершинами\ (так\ как\ для\ всех\ \]

\[вершин\ расстояния\ \]

\[одинаковые).\]

\[По\ теореме\ Пифагора\ \]

\[(из\ ⊿ADB):\]

\[DB = \sqrt{AD^{2} + AB^{2}} =\]

\[= \sqrt{a^{2} + a^{2}} = a\sqrt{2}.\]

\[\textbf{б)}\ Расстояние\ между\ центрами\ \]

\[двух\ смежных\ гарней,\ \]

\[одинаково.\]

\[Рассмотрим\ грани\ \text{DSA}\ и\ ASB:\]

\[SP;SQ - высоты\ граней;\]

\[K;L - центры\ граней;\]

\[KL - расстояние\ между\ \]

\[гранями.\]

\[KN\bot PO;\ \ LM\bot OQ:\]

\[KLMN - прямоугольник.\]

\[По\ теореме\ косинусов\ \]

\[(из\ ⊿SHP):\]

\[SH^{2} =\]

\[= SP^{2} + PH^{2} - 2SP \cdot PH \cdot \cos{\angle SPH}.\]

\[SH = SP = \frac{a\sqrt{3}}{2} - высоты:\]

\[\frac{3a^{2}}{4} =\]

\[= \frac{3a^{2}}{4} + a^{2} - 2 \cdot \frac{a^{2}\sqrt{3}}{2} \cdot \cos{\angle SPH}\]

\[a^{2} = a^{2}\sqrt{3}\cos{\angle SPH}\]

\[\cos{\angle SPH} = \frac{1}{\sqrt{3}}.\]

\[\sin{\angle SPH} = \sqrt{1 - \left( \frac{1}{\sqrt{3}} \right)^{2}} = \sqrt{\frac{2}{3}}.\]

\[PK = \frac{a\sqrt{3}}{6} - радиус\ вписанной\ \]

\[окружности:\]

\[PN = PK \cdot \cos{\angle SPH} =\]

\[= \frac{a\sqrt{3}}{6} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{a}{6};\]

\[ON = OM = \frac{a}{2} - \frac{a}{6} = \frac{2a}{6} = \frac{a}{3}.\]

\[⊿NOM - прямоугольный\ \]

\[(\angle O = 90{^\circ}):\]

\[MN = ON \cdot \sqrt{2} = \frac{a\sqrt{2}}{3}.\]

\[\textbf{в)}\ P;H - середины\ \text{AD\ }и\ \text{BC\ }\]

\[квадрата\ \text{ABCD.}\]

\[PH \parallel AB;\ \ BC \parallel AD;\ \ SP\bot AD;\ \ \]

\[KH\bot SP:\]

\[KH - расстояние\ между\ \]

\[противоположными\ гранями.\]

\[\sin{\angle SPH} = \sqrt{\frac{2}{3}} - из\ пункта\ б).\]

\[HK = PH \cdot \ \sin{\angle SPH} = \frac{a\sqrt{2}}{\sqrt{3}} =\]

\[= \frac{a\sqrt{6}}{3}.\]