Решебник по геометрии 10 класс Атанасян ФГОС 165

\[\boxed{\mathbf{165.}ОК\ ГДЗ\ –\ домашка\ на\ 5}\]

\[Дано:\]

\(A \notin \gamma;\)

\[AH\bot\gamma;\ \]

\[p(A,\gamma) = d;\]

\[\text{AB\ }и\ AC - наклонные\ к\ \gamma;\]

\[\widehat{\text{AB\ γ}} = 30{^\circ};\]

\[BH - проекция\ AB;\]

\[CH - проекция\ AC;\]

\[\widehat{\text{BH\ CH}} = 120{^\circ}.\]

\[Найти:\]

\[\text{BC.}\]

\[Решение.\]

\[1)\ Угол\ между\ прямой\ и\ \]

\[плоскостью - это\ угол\ между\ \]

\[прямой\ и\ ее\ проекцией\ на\ эту\ \]

\[плоскость:\]

\[\widehat{\text{AB\ γ}} = \widehat{\text{AB\ BH}} = \angle ABH = 30{^\circ};\]

\[\widehat{\text{AC\ γ}} = \widehat{\text{AC\ CH}} = \angle ACH = 30{^\circ}.\]

\[2)\ \mathrm{\Delta}ABH = \mathrm{\Delta}ACH - по\ катету\ и\ \]

\[противолежащему\ углу:\]

\[\angle AHB = \angle AHC = 90{^\circ}\ \]

\[(так\ как\ AH\bot\gamma);\ \]

\[\angle ABH = \angle ACH = 30{^\circ};\]

\[AH - общая\ сторона.\]

\[Отсюда:\ \]

\[3)\ Рассмотрим\ \mathrm{\Delta}BHC:\]

\[BH = HC;\ \]

\[\angle BHC = 120{^\circ}.\]

\[По\ теореме\ косинусов:\]

\[BC^{2} =\]

\[= BH^{2} + HC^{2} - 2BH \bullet HC \bullet \cos{120{^\circ}};\]

\[BC^{2} =\]

\[= BH^{2} + BH^{2} - 2 \bullet BH \bullet BH \bullet \left( - \frac{1}{2} \right);\]

\[BC^{2} = 2BH^{2} + BH^{2} = 3BH^{2};\]

\[BC = \sqrt{3BH^{2}} = BH\sqrt{3}.\]

\[4)\ \mathrm{\Delta}ABH - прямоугольный:\]

\[AH = d;\ \]

\[\angle B = 30{^\circ};\ \]

\[BH = AH \bullet ctg\ 30{^\circ} = d\sqrt{3}.\]

\[5)\ BC = \sqrt{3} \bullet d \bullet \sqrt{3} = 3d.\]

\[Ответ:BC = 3d.\]

\[Параграф\ 3.\ Двугранный\ угол.\ Перпендикулярность\ плоскостей\]