Решебник по геометрии 10 класс Атанасян ФГОС 116

\[\boxed{\mathbf{116.}ОК\ ГДЗ\ –\ домашка\ на\ 5}\]

\[Дано:\]

\[\text{ABCD}A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} -\]

\[параллелепипед;\]

\[\textbf{а)}\ \angle BAD = 90{^\circ};\]

\[\textbf{б)}\ AB\bot DD_{1}.\]

\[Доказать:\]

\[\textbf{а)}\ DC\bot B_{1}C_{1};\]

\[AB\bot A_{1}D_{1}.\]

\[\textbf{б)}\ AB\bot CC_{1};\]

\[DD_{1}\bot A_{1}B_{1}.\]

\[Доказательство.\]

\[\text{ABCD}A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} -\]

\[параллелепипед:\]

\[AA_{1}BB_{1} = DD_{1}CC_{1};\ \]

\[AA_{1}DD_{1} = BB_{1}CC_{1};\]

\[A_{1}B_{1}D_{1}C_{1} = ABCD - при\ этом\ \]

\[все\ грани\ параллельны\ и\]

\[являются\ параллелограммами\ \]

\[(по\ свойству).\]

\[\textbf{а)}\ 1)\ ABCD - параллелограмм:\]

\[\angle A = \angle C = 90{^\circ};\]

\[ABCD - прямоугольник.\]

\[2)\ BB_{1}C_{1}C - параллелограмм:\]

\[B_{1}C_{1} \parallel BC\ (по\ свойству);\]

\[DC\bot BC.\]

\[Отсюда:\ \]

\[DC\bot B_{1}C_{1}.\]

\[3)\ AA_{1}D_{1}D - параллелограмм:\]

\[A_{1}D_{1} \parallel AD\ (по\ свойству);\]

\[AB\bot AD;\]

\[AD\bot A_{1}D_{1}.\]

\[Значит:\ \]

\[\text{AB}\bot A_{1}D_{1}.\]

\[\textbf{б)}\ 1)\ D_{1}\text{DC}C_{1} -\]

\[параллелограмм:\]

\[D_{1}D \parallel CC_{1}\ (по\ свойству);\ \]

\[DC \parallel AB;\]

\[AB\bot DD_{1}.\]

\[Значит:\]

\[DC\bot CC_{1};\]

\[AB\bot CC_{1}.\]

\[3)\ AA_{1}BB_{1} - параллелограмм:\]

\[AB \parallel A_{1}B_{1}\ (по\ свойству);\]

\[\text{\ A}A_{1} \parallel DD_{1};\]

\[\ AB\bot DD_{1}.\]

\[Отсюда:\]

\[AA_{1}\bot A_{1}B_{1};\]

\[DD_{1}\bot A_{1}B_{1}.\]

\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]