\[\boxed{\text{1067\ (1067)\ .}\text{\ }\text{Еуроки\ -\ ДЗ\ без\ мороки}}\]
\[x_{n} = \frac{1}{(2n - 1)(2n + 1)};\ \ \]
\[x_{1} = \frac{1}{3},\ \ x_{2} = \frac{1}{3 \cdot 5},\ \ \]
\[x_{3} = \frac{1}{5 \cdot 7}.\]
\[Докажем,\ что\ искомая\ сумма\ \]
\[может\ быть\ найдена\ по\ \]
\[формуле:\]
\[S_{n} = \frac{n}{2n + 1}.\]
\[Предположим,\ что\ формула\ \]
\[верна\ для\ n = k.\ Докажем,\ что\ \]
\[она\ верна\ для\ n = k + 1:\]
\[= \frac{1}{(2k + 1)} + \frac{1}{(2k + 1)(2k + 3)} =\]
\[= \frac{2k^{2} + 3k + 1}{(2k + 1)(2k + 3)} =\]
\[= \frac{(2k + 1)(k + 1)}{(2k + 1)(2k + 3)} =\]
\[= \frac{k + 1}{2k + 3} \Longrightarrow ч.т.д.\]