Решебник по алгебре 9 класс Мерзляк Задание 11

\[\boxed{\text{11\ (11).}\text{\ }\text{Еуроки\ -\ ДЗ\ без\ мороки}}\]

Пояснение.

Решение.

\[\mathbf{Формулы\ сокращенного\ }\]

\[\mathbf{умножения:}\]

\[\left( \mathbf{m - n} \right)^{\mathbf{2}}\mathbf{=}\mathbf{m}^{\mathbf{2}}\mathbf{- 2}\mathbf{mn +}\mathbf{n}^{\mathbf{2}}\mathbf{;}\]

\[\left( \mathbf{m + n} \right)^{\mathbf{2}}\mathbf{=}\mathbf{m}^{\mathbf{2}}\mathbf{+ 2}\mathbf{mn +}\mathbf{n}^{\mathbf{2}}\mathbf{;}\]

\[\mathbf{m}^{\mathbf{2}}\mathbf{-}\mathbf{n}^{\mathbf{2}}\mathbf{=}\left( \mathbf{m + n} \right)\left( \mathbf{m - n} \right)\mathbf{.}\]

\[1)\ 2a^{2} - 8a + 16 > 0\]

\[a^{2} + a^{2} - 8a + 16 > 0\]

\[a^{2} + (a - 4)^{2} > 0\]

\[При\ всех\ a.\]

\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]

\[2)\ 4b^{2} + 4b + 3 > 0\]

\[4b^{2} + 4b + 1 + 2 > 0\]

\[(2b + 1)^{2} + 2 > 0\]

\[При\ всех\ b.\]

\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]

\[3)\ a^{2} + ab + b^{2} \geq 0\]

\[a^{2} + 2 \cdot a \cdot \frac{1}{2}b + \frac{1}{4}b^{2} + \frac{3}{4}b^{2} =\]

\[= \left( a - \frac{1}{2}b \right)^{2} + \frac{3}{4}b^{2} \geq 0\]

\[При\ любых\ значениях\ a\ и\ b.\]

\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]

\[4)\ (3a + 2)(2a - 4) -\]

\[- (2a - 5)^{2} > 3(4a - 12)\]

\[6a^{2} - 12a + 4a - 8 - 4a^{2} +\]

\[+ 20a - 25 > 12a - 36\]

\[2a^{2} + 12a - 33 - 12a + 36 > 0\]

\[2a^{2} + 3 > 0\ \ при\ всех\ a.\]

\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]

\[5)\ a(a - 3) > 5(a - 4)\]

\[a^{2} - 3a > 5a - 20\]

\[a^{2} - 3a - 5a + 20 > 0\]

\[a^{2} - 8a + 20 > 0\]

\[a^{2} - 8a + 16 + 4 > 0\]

\[(a - 4)^{2} + 4 > 0,\ \ \]

\[при\ всех\ a.\]

\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]

\[6)\ (a - b)(a + 5b) \leq\]

\[\leq (2a + b)(a + 4b) + ab\]

\[a^{2} + 5ab - ab - 5b^{2} \leq 2a^{2} +\]

\[+ 8ab + ab + 4b^{2} + ab\]

\[a^{2} + 4ab - 5b^{2} - 2a^{2} -\]

\[- 10ab - 4b^{2} \leq 0\]

\[- a^{2} - 6ab - 9b^{2} \leq 0\]

\[- (a + 3b)^{2} \leq 0,\ \ \]

\[при\ всех\ \text{a\ }и\ b\text{.\ }\]

\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]