Решебник по алгебре 9 класс Дорофеев контрольные работы КР-3. Рациональные выражения. Уравнения с одной переменной Вариант 1

1. Найдите область определения дроби:

а) 4/(а^2 + 3а);

б) 3а/(9 + а^2)

2. Упростите выражение ((a+b)/a-(a+b)/b):(2*(a+b))/ab.

3. Решите уравнение:

а) (x^2-1)(2x+3)=0;

б) x^4-7x^2+12=0

4. При каких значениях переменной m сумма дробей 1/m и 2/(m + 2) равна 1?

5. Составьте уравнение по условию задачи: «Велосипедист за некоторое время проехал 4 км, а мотоциклист за такой же промежуток времени проехал 10 км. Известно, что скорость мотоциклиста на 18 км/ч больше скорости велосипедиста. С какой скоростью ехал велосипедист?»

6. Сократите дробь (3x-2)/(3x^2+10x-8).

7. Постройте график функции y=(x^2-9)/(x-3).

8. Найдите координаты точек пересечения с осью х графика функции, заданной формулой y=x^3-x^2-4x+4.

*9. Изобразите схематически график функции, рассмотренной в задании 8.

\[\boxed{\mathbf{1.}}\]

\[\textbf{а)}\ \frac{4}{a^{2} + 3a}\]

\[ООФ:\]

\[a^{2} + 3a \neq 0\]

\[a(a + 3) \neq 0\]

\[a \neq 0;\ \ a \neq - 3.\]

\[a \in ( - \infty; - 3) \cup ( - 3;0) \cup (0; + \infty).\]

\[\textbf{б)}\frac{3a}{9 + a^{2}}\]

\[ООФ:\]

\[9 + a^{2} \neq 0\]

\[a^{2} \neq - 9\]

\[a - любое\ число.\]

\[a \in ( - \infty; + \infty).\]

\[\boxed{\mathbf{2.}}\]

\[\left( \frac{a + b^{\backslash b}}{a} - \frac{a + b^{\backslash a}}{b} \right)\ :\frac{2 \cdot (a + b)}{\text{ab}} =\]

\[= \frac{b \cdot (a + b) - a \cdot (a + b)}{\text{ab}} \cdot \frac{\text{ab}}{2 \cdot (a + b)} =\]

\[= \frac{(b - a)(a + b)}{2 \cdot (a + b)} = \frac{b - a}{2}\]

\[\boxed{\mathbf{3.}}\]

\[\textbf{а)}\ \left( x^{2} - 1 \right)(2x + 3) = 1\]

\[1)\ x^{2} - 1 = 0\]

\[x^{2} = 1\]

\[x = \pm 1.\]

\[2)\ 2x + 3 = 0\]

\[2x = - 3\]

\[x = - 1,5.\]

\[Ответ:x = - 1,5;x = \pm 1.\]

\[\textbf{б)}\ x^{4} - 7x^{2} + 12 = 0\]

\[Пусть\ x^{2} = y:\]

\[y^{2} - 7y + 12 = 0\]

\[y_{1} + y_{2} = 7;\ \ y_{1} \cdot y_{2} = 12\]

\[y_{1} = 3;\ \ y_{2} = 4.\]

\[Подставим:\]

\[1)\ x^{2} = 3\]

\[x = \pm \sqrt{3}.\]

\[2)\ x^{2} = 4\]

\[x = \pm 2.\]

\[Ответ:x = \pm 2;x = \pm 4.\]

\[\boxed{\mathbf{4.}}\]

\[\frac{1}{m} + \frac{2}{m + 2} = 1\ \ \ | \cdot m(m + 2)\]

\[m + 2 + 2m = m(m + 2)\]

\[3m + 2 = m^{2} + 2m\]

\[m^{2} + 2m - 3m - 2 = 0\]

\[m^{2} - m - 2 = 0\]

\[m_{1} + m_{2} = 1;\ \ m_{1} \cdot m_{2} = - 2\]

\[m_{1} = 2;\ \ m_{2} = - 1.\]

\[Ответ:при\ m = - 1;m = 2.\]

\[\boxed{\mathbf{5.}}\]

\[Пусть\ \text{x\ }\frac{км}{ч} - скорость\ велосипедиста;\]

\[(x + 18)\ \frac{км}{ч} - скорость\ мотоциклиста.\]

\[Составим\ уравнение:\]

\[\frac{4}{x} = \frac{10}{x + 18}\]

\[4 \cdot (x + 18) = 10x\]

\[4x + 72 = 10x\]

\[10x - 4x = 72\]

\[6x = 72\]

\[x = 12\ \left( \frac{км}{ч} \right) - скорость\ велосипедиста.\]

\[Ответ:12\ \frac{км}{ч}.\]

\[\boxed{\mathbf{6.}}\]

\[\frac{3x - 2}{3x^{2} + 10x - 8} = \frac{3x - 2}{(3x - 2)(x + 4)} = \frac{1}{x + 4}.\]

\[3x^{2} + 10x - 8 = 3 \cdot \left( x - \frac{2}{3} \right)(x + 4) =\]

\[= (3x - 2)(x + 4)\]

\[D = 100 + 96 = 196\]

\[x_{1} = \frac{- 10 + 14}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3};\]

\[x_{2} = \frac{- 10 - 14}{6} = - \frac{24}{6} = - 4.\]

\[\boxed{\mathbf{7.}}\]

\[y = \frac{x^{2} - 9}{x - 3} = \frac{(x - 3)(x + 3)}{x - 3} = x + 3\]

\[y = x + 3;\ \ \ x \neq 3.\]

\[\boxed{\mathbf{8.}}\]

\[y = x^{3} - x^{2} - 4x + 4 =\]

\[= x^{2}(x - 1) - 4 \cdot (x - 1) = \left( x^{2} - 4 \right)(x - 1) =\]

\[= (x + 2)(x - 2)(x - 1)\]

\[Точки\ пересечения\ с\ осью\ x:\]

\[x_{1} = - 2;\ x_{2} = 2;\ x_{3} = 1.\]

\[\boxed{\mathbf{9.}}\]

\[y = x^{3} - x^{2} - 4x + 4\]