Решебник по алгебре 9 класс Мерзляк контрольные работы КР-5. Числовые последовательности Вариант 1.

Условие:

1. Найдите двенадцатый член и сумму первых двенадцати членов арифметической прогрессии (a_n), если a_1 = 3, a_2 = 7.

2. Найдите седьмой член и сумму первых шести членов геометрической прогрессии (b_n), если b_1 = –1/4 и q = 2.

3. Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии 27, –9, 3, …

4. Найдите номер члена арифметической прогрессии (a_n), равного 6,4, если а = 3,6 и d = 0,4.

5. Какие два числа надо вставить между числами 2 и –54, чтобы они вместе с данными числами образовали геометрическую прогрессию?

6. При каком значении x значения выражений 2x – 1, x + 3 и x + 15 будут последовательными членами геометрической прогрессии? Найдите члены этой прогрессии.

7. Найдите сумму всех натуральных чисел, кратных 7, которые больше 100 и меньше 200.

Решение:

\[\boxed{\mathbf{1}\mathbf{.}\mathbf{\ }}\]

\[a_{1} = 3;\ \ a_{2} = 7:\]

\[d = a_{2} - a_{1} = 7 - 3 = 4.\]

\[a_{12} = a_{1} + 11d =\]

\[= 3 + 11 \cdot 4 = 47.\]

\[S_{12} = \frac{(3 + 47) \cdot 12}{2} =\]

\[= 50 \cdot 6 = 300.\]

\[Ответ:a_{12} = 47;\ \ S_{12} = 300.\]

\[\boxed{\mathbf{2}\mathbf{.}\mathbf{\ }}\]

\[b_{1} = - \frac{1}{4};\ \ \ q = 2.\]

\[b_{7} = - \frac{1}{4} \cdot q^{6} = - \frac{1}{4} \cdot 2^{6} =\]

\[= - \frac{1}{4} \cdot 64 = - 16.\]

\[S_{6} = \frac{b_{1}\left( q^{6} - 1 \right)}{q - 1} =\]

\[= \frac{- \frac{1}{4} \cdot (64 - 1)}{2 - 1} = - \frac{1}{4} \cdot 63 =\]

\[= - \frac{63}{4} = - 15\frac{3}{4}.\]

\[Ответ:\ - 15\frac{3}{4}.\]

\[\boxed{\mathbf{3}\mathbf{.}\mathbf{\ }}\]

\[27;\ - 9;3;\ldots\]

\[b_{1} = 27;\ \ \ q = - \frac{9}{27} = - \frac{1}{3} < 1.\]

\[S = \frac{b_{1}}{1 - q} = \frac{27}{1 + \frac{1}{3}} =\]

\[= 27\ :1\frac{1}{3} = 27\ :\frac{4}{3} =\]

\[= 27 \cdot \frac{3}{4} = \frac{81}{4} = 20\frac{1}{4}.\]

\[Ответ:20\frac{1}{4}.\]

\[\boxed{\mathbf{4}\mathbf{.}\mathbf{\ }}\]

\[a_{n} = 6,4;\ \ a_{1} = 3,6;\ \ d = 0,4\]

\[a_{n} = a_{1} + (n - 1)d\]

\[3,6 + (n - 1) \cdot 0,4 = 6,4\]

\[3,6 + 0,4n - 0,4 = 6,4\]

\[0,4n = 6,4 - 3,2\]

\[0,4n = 3,2\]

\[n = 8.\]

\[Ответ:n = 8.\]

\[\boxed{\mathbf{5}\mathbf{.}\mathbf{\ }}\]

\[b_{1} = 2;\ \ b_{n} = - 54.\]

\[2;b_{1}q;b_{1}q^{2};\ - 54\]

\[2q^{3} = - 54\]

\[q^{3} = - 27\]

\[q = - 3.\]

\[b_{1}q = 2 \cdot ( - 3) = - 6.\]

\[b_{2}q = 2 \cdot ( - 3)^{2} = 18.\]

\[Ответ:числа\ - 6;18.\]

\[\boxed{\mathbf{6}\mathbf{.}\mathbf{\ }}\]

\[2x - 1;x + 3;x + 15\]

\[(x + 3)^{2} = (2x - 1)(x + 15)\]

\[x^{2} + 6x + 9 = 2x^{2} - x + 30x - 15\]

\[2x^{2} - x^{2} + 29x - 6x - 15 - 9 = 0\]

\[x^{2} + 23x - 24 = 0\]

\[x_{1} + x_{2} = - 23;\ \ \ x_{1} \cdot x_{2} = - 24\]

\[x_{1} = - 24;\ \ x_{2} = 1.\]

\[b_{1} = 2 \cdot ( - 24) - 1 = - 49;\]

\[b_{2} = - 24 + 3 = - 21;\]

\[b_{3} = - 24 + 15 = - 9.\]

\[ИЛИ:\]

\[b_{1} = 2 \cdot 1 - 1 = 1;\]

\[b_{2} = 1 + 3 = 4;\]

\[b_{3} = 1 + 15 = 16.\]

\[\boxed{\mathbf{7}\mathbf{.}\mathbf{\ }}\]

\[Числа\ образуют\ \ \]

\[арифметическую\ прогрессию,\ \]

\[где\ d = 7.\]

\[a_{1} = 105;\]

\[a_{n} = a_{1} + (n - 1) \cdot 7 = 196.\]

\[105 + (n - 1) \cdot 7 = 196\]

\[7n - 7 = 196 - 105\]

\[7n = 91 + 7\]

\[7n = 98\]

\[n = 14.\]

\[S_{14} = \frac{(105 + 196) \cdot 14}{2} =\]

\[= 301 \cdot 7 = 2107.\]

\[Ответ:2107.\]