\[\boxed{\text{67}\text{\ (67)}\text{.\ }\text{Еуроки\ -\ ДЗ\ без\ мороки}}\]
\[Пусть\ на\ одной\ паре\]
\[\ противоположных\ сторон\ \]
\[записаны\ числа\ a\ и\ c,\]
\[а\ на\ другой - b\ и\ d.\ Тогда\ сумма\ \]
\[произведений\ равна:\]
\[ab + bc + cd + da = (a + c)(b + d)\]
\[По\ условию,\ сумма\ \]
\[произведений\ равна\ 55.\]
\[Составим\ уравнение:\]
\[(a + c)(b + d) = 55\]
\[55 = 5 \cdot 11\]
\[Тогда\ (a + c) + (b + d) =\]
\[= 5 + 11 = 16.\]
\[Ответ:16.\]