Решебник по алгебре 8 класс Мерзляк ФГОС Упражнения (страница 128)

\[\boxed{\mathbf{Упражнения}\mathbf{\ }\mathbf{стр}\mathbf{.\ 128}}\]

\[\boxed{\mathbf{1.}}\]

\[Пусть\ \sqrt{3} = \frac{p}{q};\ \]

\[где\frac{p}{q} - нескоратимая\ дробь;\]

\[p,\ q \in N.\]

\[\left( \sqrt{3} \right)^{2} = \left( \frac{p}{q} \right)^{2}\]

\[p^{3} = 3q^{2};\ \ \ p^{2} \vdots 3;\ \ \ p \vdots 3;\ \ \]

\[p = 3k,\ где\ k \in N.\]

\[p = 3q \Longrightarrow p^{2} = 9k^{2} =\]

\[= 3 \cdot \left( 3k^{2} \right)\ \vdots 3;\ \ \ то\ есть\ p^{2}\ \vdots 3.\]

\[p = 3k + 1 \Longrightarrow p^{2} = (3k + 1)^{2} =\]

\[= 9k^{2} + 6k + 1 =\]

\[= 3 \cdot \left( 3k^{2} + 2k \right) + 1 \Longrightarrow\]

\[то\ есть\ p^{2}\ не\ делится\ на\ 3.\]

\[p = 3k + 2 \Longrightarrow p^{2} = (3k + 2)^{2} =\]

\[= 9k^{2} + 12k + 4 =\]

\[= 3 \cdot \left( 3k^{2} + 4k + 1 \right) + 1 \Longrightarrow\]

\[то\ есть\ p^{2}\ не\ делится\ на\ 3.\]

\[(3k)^{2} = 3q^{2};\ \ \ 9k^{2} = 3q^{2};\ \ \ \]

\[q^{2} = 3k^{2};\ \ \ q^{2}\ \vdots 3;\ \ q\ \vdots 3\]

\[q = 3n;\ \ где\ n \in N.\]

\[Тогда\ \ \frac{p}{q} = \frac{3k}{3n} = \frac{k}{n}\ \Longrightarrow то\ есть\ \]

\[\sqrt{3} - иррациональное\ число.\]

\[\boxed{\mathbf{2.}}\]

\[Пусть\ \sqrt{n} - рациональное\ \]

\[число,\ то\ есть\ его\ можно\ \]

\[представить\ в\ виде\]

\[несократимой\ дроби\ \ \frac{a}{b};\ \ \]

\[где\ \text{a\ }и\ b - натуральные\ числа.\ \]

\[\sqrt{n} = \frac{a}{b} \Longrightarrow n = \frac{a^{2}}{b^{2}} \Longrightarrow a^{2} = nb^{2}.\]

\[Получаем,\ что\ a^{2}\ кратно\ n;\ \ \]

\[\text{a\ }кратно\ \text{n.}\]

\[Допустим,\ что\ a = nr;\ \ \]

\[r - натуральное\ число.\ \]

\[(n{r)}^{2} = nb^{2} \Longrightarrow n^{2}r^{2} = nb^{2} \Longrightarrow\]

\[\Longrightarrow b^{2} = nr^{2}.\]

\[Значит,\ b^{2}\ кратно\ n;\ \ \ \]

\[\text{b\ }кратно\ \text{n.\ }У\ нас\ получилось,\ \]

\[что\ \text{a\ }и\ \text{b\ }кратны\ n,\ а\ это\ \]

\[противоречит\ несократимости\ \]

\[дроби\ \ \frac{a}{b}\text{.\ }\]

\[Следовательно,\ \]

\[\sqrt{n} - иррациональное\ число.\]