Решебник по алгебре 8 класс Макарычев ФГОС Задание 919

 

\[\boxed{\text{919\ (919).\ }\text{Еуроки\ -\ ДЗ\ без\ мороки}}\]

Пояснение.

При решении используем следующее:

1. Чтобы сложить (вычесть) дроби с разными знаменателями, надо привести их к наименьшему общему знаменателю, затем сложить (вычесть) числители дробей, а знаменатель оставить без изменений.

2. Чтобы привести дроби к наименьшему общему знаменателю используем правило:

1. Найти наименьший общий знаменатель, который делится на каждый из знаменателей без остатка.

2. Найти дополнительный множитель, для каждого числителя, разделив общий знаменатель на знаменатели данных дробей.

3. Умножить числитель каждой дроби на дополнительный множитель.

3. Формулу произведения разности двух выражений на их сумму – произведение разности двух выражений и их суммы равно разности квадратов этих выражений:

\[\left( \mathbf{a}\mathbf{-}\mathbf{b} \right)\left( \mathbf{a}\mathbf{+}\mathbf{b} \right)\mathbf{=}\mathbf{a}^{\mathbf{2}}\mathbf{-}\mathbf{b}^{\mathbf{2}}\mathbf{.}\]

4. Формулу квадрата разности:

Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения минус удвоенное произведение первого и второго выражений плюс квадрат второго выражения:

\[\mathbf{(}\mathbf{a}\mathbf{-}\mathbf{b}\mathbf{)}^{\mathbf{2}}\mathbf{=}\mathbf{a}^{\mathbf{2}}\mathbf{-}\mathbf{2}\mathbf{\text{ab}}\mathbf{+}\mathbf{b}^{\mathbf{2}}\mathbf{.}\]

5. Формулу квадрата суммы:

Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения плюс удвоенное произведение первого и второго выражений плюс квадрат второго выражения:

\[\mathbf{(}\mathbf{a}\mathbf{+}\mathbf{b}\mathbf{)}^{\mathbf{2}}\mathbf{=}\mathbf{a}^{\mathbf{2}}\mathbf{+}\mathbf{2}\mathbf{\text{ab}}\mathbf{+}\mathbf{b}^{\mathbf{2}}\mathbf{.}\]

6. Чтобы вынести общий множитель за скобки, надо каждый член многочлена разделить на их наибольший общий делитель и результат записать в скобках, а общий множитель за скобками:

\[\mathbf{ab + b}\mathbf{m}\mathbf{= b \bullet}\left( \mathbf{a + m} \right)\mathbf{.}\]

7. Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй (перевернуть, поменяв местами числитель со знаменателем):

\[\frac{\mathbf{a}}{\mathbf{b}}\mathbf{\ :\ }\frac{\mathbf{c}}{\mathbf{d}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{a}}{\mathbf{b}}\mathbf{\bullet}\frac{\mathbf{d}}{\mathbf{c}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{a \bullet d}}{\mathbf{b \bullet c}}\mathbf{.}\]

8. Распределительное свойство умножения – число, стоящее перед скобкой, нужно умножить на каждое число в скобке:

\[\mathbf{a}\left( \mathbf{b - c} \right)\mathbf{= ab - ac.}\]

9. Положительное или отрицательное число (со знаком «минус») во второй степени (квадрате) всегда будет числом положительным или 0:

\[\mathbf{( -}\mathbf{2)}^{\mathbf{2}}\mathbf{= 4;}\]

\[\mathbf{2}^{\mathbf{2}}\mathbf{= 4.}\]

Решение.

\[\textbf{а)}\ a > 3\]

\[\left( \frac{a - 3}{a + 3} - \frac{a + 3}{a - 3} \right) \cdot \left( 1 + \frac{3}{a} \right) < 0\]

\[\frac{(a - 3)^{2} - (a + 3)^{2}}{a^{2} - 9} \cdot \frac{a + 3}{a} < 0\]

\[\frac{a^{2} - 6a + 9 - a^{2} - 6a - 9}{a(a - 3)} < 0\]

\[\frac{- 12a}{a(a - 3)} < 0\]

\[\frac{- 12}{a - 3} < 0\]

\[при\ a > 3\ \ неравенство\]

\[\ \frac{- 12}{a - 3} < 0\ \ верно \Longrightarrow ч.т.д.\]

\[\textbf{б)}\ y > 1\]

\[\frac{y^{2} + 3}{y - 1} - \frac{2}{y} \cdot \frac{y(y - 1)(y + 1)}{y^{2} - 2y + 1} > 0\]

\[\frac{y^{2} + 3}{y - 1} - \frac{2 \cdot (y - 1)(y + 1)}{(y - 1)^{2}} > 0\]

\[\frac{y^{2} + 3 - 2 \cdot (y + 1)}{y - 1} > 0\]

\[\frac{y^{2} + 3 - 2y - 2}{y - 1} > 0\]

\[\frac{y^{2} - 2y + 1}{y - 1} > 0\]

\[\frac{(y - 1)^{2}}{y - 1} > 0\]

\[y - 1 > 0\]

\[при\ y > 1\ \ неравенство\ \]

\[y - 1 > 0\ верно \Longrightarrow ч.т.д.\]

\[\boxed{\text{919.\ }\text{еуроки}\text{-}\text{ответы}\text{\ }\text{на}\text{\ }\text{пятёрку}}\]

\[\frac{a}{54} \in \left\lbrack \frac{1}{9};\frac{1}{6} \right\rbrack,\ \ a \in N\]

\[то\ есть\ \ \frac{1}{9} \leq \frac{a}{54} \leq \frac{1}{6},\ \ \]

\[где\ a = \left\{ 6;7;8;9 \right\}\]

\[\frac{6}{54},\frac{7}{54},\frac{8}{54},\ \frac{9}{54}\ \in \left\lbrack \frac{1}{9};\frac{1}{6} \right\rbrack.\]