Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаРешебник по алгебре 8 класс Макарычев ФГОС Задание 776
Задание 776
\[\boxed{\text{776\ (776).\ }\text{Еуроки\ -\ ДЗ\ без\ мороки}}\]
Пояснение.
Знаки сравнения:
\(\geq \ - \ \)больше или равно;
\(\leq \ - \ \)меньше или равно.
Пусть a, b и c – положительные числа (больше нуля). Числа \(\frac{\mathbf{a + b}}{\mathbf{2}}\mathbf{,\ }\frac{\mathbf{b + c}}{\mathbf{2}}\mathbf{,\ }\frac{\mathbf{a + c}}{\mathbf{2}}\mathbf{\ }\)называются средними арифметическими чисел a и b, b и c, a и c соответственно. Числа \(\sqrt{\mathbf{\text{ab}}\mathbf{,}}\mathbf{\ }\sqrt{\mathbf{bc,}}\sqrt{\mathbf{\text{ac\ \ }}}\)называются средними геометрическими чисел a и b, b и c, a и c соответственно.
Решение.
\[a \geq 0,\ \ b \geq 0,\ \ c \geq 0\]
\[\textbf{а)}\ (a + b)(b + c)(a + c) \geq 8abc\]
\[Среднее\ арифметическое \geq\]
\[\geq среднее\ геометрическое.\]
\[\frac{a + b}{2} \geq \sqrt{\text{ab}},\ \ \frac{b + c}{2} \geq \sqrt{\text{bc}},\]
\[\text{\ \ }\frac{a + c}{2} \geq \sqrt{\text{ac}}\]
\[a + b \geq 2\sqrt{\text{ab}},\]
\[\ \ b + c \geq 2\sqrt{\text{bc}},\]
\[\ \ a + c \geq 2\sqrt{\text{ac}}\]
\[Перемножим\ правые\ и\ левые\ \]
\[части\ неравенств\ между\ собой:\]
\[(a + b)(b + c)(a + c) \geq\]
\[\geq 2\sqrt{\text{ab}} \cdot 2\sqrt{\text{bc}} \cdot 2\sqrt{\text{ac}}\]
\[(a + b)(b + c)(a + c) \geq\]
\[\geq 8abc \Longrightarrow ч.т.д.\]
\[\textbf{б)}\ \frac{(a + 1)(b + 1)(a + c)(b + c)}{16} \geq\]
\[\geq \text{abc}\]
\[Среднее\ арифметическое \geq\]
\[\geq среднее\ геометрическое.\]
\[\frac{a + 1}{2} = \sqrt{a \cdot 1},\ \ \]
\[\frac{b + 1}{2} = \sqrt{b \cdot 1},\ \ \frac{a + c}{2} = \sqrt{\text{ac}},\]
\[\text{\ \ }\frac{b + c}{2} = \sqrt{\text{bc}}\ \]
\[a + 1 = 2\sqrt{a},\ \ b + 1 = 2\sqrt{b},\]
\[\ \ a + c = 2\sqrt{\text{ac}},\]
\[\ \ b + c = 2\sqrt{\text{bc}}\]
\[\frac{(a + 1)(b + 1)(a + c)(b + c)}{16} \geq\]
\[\geq abc \Longrightarrow ч.т.д.\]
\[Использованы\ свойства:\]
\[умножение\ и\ деление\ \]
\[неравенства\ на\]
\[положительное\ число\ \]
\[и\ умножение\ неравенств.\]
\[\boxed{\text{776.}\text{\ }\text{еуроки}\text{-}\text{ответы}\text{\ }\text{на}\text{\ }\text{пятёрку}}\]
\[x^{2} + px + q = 0,\ \ x_{1}^{2} + x_{2}^{2} - ?\]
\[\left\{ \begin{matrix} x_{1} + x_{2} = - p \\ x_{1}x_{2} = q\ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ \end{matrix} \right.\ \text{\ \ \ \ \ \ }\]
\[x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = x_{1}^{2} + 2x_{1}x_{2} + x_{2}^{2} -\]
\[- 2x_{1}x_{2} = \left( x_{1} + x_{2} \right)^{2} - 2x_{1}x_{2} =\]
\[= ( - p)^{2} - 2q =\]
\[= p^{2} - 2q\]
\[Ответ:p^{2} - 2q.\ \]
