Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаРешебник по алгебре 8 класс Макарычев ФГОС Задание 706
Задание 706
\[\boxed{\text{706\ (706).\ }\text{Еуроки\ -\ ДЗ\ без\ мороки}}\]
Пояснение.
Чтобы найти время, нужно путь разделить на скорость:
\[\mathbf{t =}\frac{\mathbf{s}}{\mathbf{v}}\mathbf{.}\]
Решить уравнение – это значит найти все значения неизвестных, при которых оно обращается в верное числовое равенство, или доказать, что таких значений нет.
Уравнения вида \(\mathbf{a}\mathbf{x}^{\mathbf{2}}\mathbf{+ bx + c = 0}\), где a, b и c – любые числа и a ≠ 0, называется квадратным уравнением.
Дискриминант – это формула, благодаря которой можно найти корни заданного квадратного уравнения:
\[\mathbf{D =}\mathbf{b}^{\mathbf{2}}\mathbf{- 4}\mathbf{\text{ac.}}\]
Формулы корней уравнения:
\[\mathbf{x}_{\mathbf{1}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{- b +}\sqrt{\mathbf{D}}}{\mathbf{2}\mathbf{a}}\mathbf{.}\]
\[\mathbf{x}_{\mathbf{2}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{- b -}\sqrt{\mathbf{D}}}{\mathbf{2}\mathbf{a}}\mathbf{.}\]
При решении уравнений используем следующее:
1. Чтобы сложить (вычесть) дроби с разными знаменателями, надо привести их к наименьшему общему знаменателю, затем сложить (вычесть) числители дробей, а знаменатель оставить без изменений.
2. Чтобы привести дроби к наименьшему общему знаменателю используем правило:
1. Найти наименьший общий знаменатель, который делится на каждый из знаменателей без остатка.
2. Найти дополнительный множитель, для каждого числителя, разделив общий знаменатель на знаменатели данных дробей.
3. Умножить числитель каждой дроби на дополнительный множитель.
3. Распределительное свойство умножения – число, стоящее перед скобкой, нужно умножить на каждое число в скобке:
\[\mathbf{a}\left( \mathbf{b - c} \right)\mathbf{= ab - ac.}\]
4. Свойства уравнений:
1. Если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак, то получится уравнение, равносильное данному;
2. Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же число, отличное от нуля, то получится уравнение, равносильное данному.
Решение.
\[Пусть\ \text{x\ }\frac{км}{ч} - скорость\ \]
\[плота,\ тогда\ (12 - x)\ \frac{км}{ч} -\]
\[скорость\ катера.\]
\[\frac{44 - 27}{x} = \frac{17}{x}\ ч - время\ \]
\[движения\ плота;\]
\[\frac{27}{12 - x}\ ч - время\ движения\ \]
\[катера.\]
\[Известно,\ что\ плот\ был\ \]
\[в\ пути\ на\ 2\ ч\ 40\ мин =\]
\[= 2\frac{2}{3}\ ч\ больше,\ чем\ катер.\]
\[Составим\ уравнение:\]
\[\frac{17}{x} - \frac{27}{12 - x} = 2\frac{2}{3}\]
\[612 - 132x = 96x - 8x^{2}\]
\[8x² - 228x + 612 = 0\ \ \ \ |\ :4\]
\[2x^{2} - 57x + 153 = 0\]
\[D = 3249 - 1224 = 2025\]
\[x_{1,2} = \frac{57 \pm \sqrt{2025}}{2 \cdot 2} = \frac{57 \pm 45}{4}\]
\[x_{2} = 3\ \left( \frac{км}{ч} \right) - скорость\ \]
\[плота.\]
\[Ответ:\ 3\ \frac{км}{ч}\text{.\ \ \ }\]
\[\boxed{\text{706.}\text{\ }\text{еуроки}\text{-}\text{ответы}\text{\ }\text{на}\text{\ }\text{пятёрку}}\]
\[\textbf{а)}\ \left\{ \begin{matrix} y - 2x = 2\ \\ 5x^{2} - y = 1 \\ \end{matrix} \right.\ \Longrightarrow\]
\[\Longrightarrow \left\{ \begin{matrix} y = 2x + 2\ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ 5x^{2} - 2x - 2 = 0 \\ \end{matrix} \right.\ \Longrightarrow\]
\[\Longrightarrow \left\{ \begin{matrix} y = 2x + 2\ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ 5x^{2} - 2x - 3 = 0 \\ \end{matrix} \right.\ \]
\[5x^{2} - 2x - 3 = 0\]
\[D_{1} = 1 + 15 = 16\]
\[x_{1} = \frac{1 + 4}{5} = 1;\]
\[x_{2} = \frac{1 - 4}{5} = - \frac{3}{5} = - 0,6.\]
\[1)\ \left\{ \begin{matrix} x_{1} = 1 \\ y_{1} = 4 \\ \end{matrix} \right.\ ;\ \ 2)\ \left\{ \begin{matrix} x_{2} = - 0,6 \\ y_{2} = 0,8\ \ \ \\ \end{matrix} \right.\ \]
\[Ответ:( - 0,6;0,8);(1;4).\]
\[\textbf{б)}\ \left\{ \begin{matrix} x - 2y^{2} = 2 \\ 3x + y = 7\ \\ \end{matrix} \right.\ \Longrightarrow\]
\[\Longrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 2y^{2} + 2\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ 3 \cdot \left( 2y^{2} + 2 \right) + y = 7 \\ \end{matrix} \right.\ \Longrightarrow\]
\[\Longrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 2y^{2} + 2\ \ \ \ \ \ \ \ \\ 6y^{2} + y - 1 = 0 \\ \end{matrix} \right.\ \]
\[6y^{2} + y - 1 = 0\]
\[D = 1 + 6 \cdot 4 = 25\]
\[y_{1} = \frac{- 1 - 5}{12} = - \frac{6}{12} =\]
\[= - \frac{1}{2} = - 0,5;\]
\[y_{2} = \frac{- 1 + 5}{12} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}.\]
\[1)\ \left\{ \begin{matrix} y_{1} = - 0,5 \\ x_{1} = 2,5\ \ \ \\ \end{matrix} \right.\ ;\ \ 2)\ \left\{ \begin{matrix} y_{2} = \frac{1}{3}\text{\ \ \ } \\ x_{2} = 2\frac{2}{9} \\ \end{matrix} \right.\ .\]
\[Ответ:(2,5; - 0,5);\ \ \left( 2\frac{2}{9};\frac{1}{3} \right).\]
\[\textbf{в)}\ \left\{ \begin{matrix} x^{2} - 3y^{2} = 52 \\ y - x = 14\ \ \ \ \ \ \\ \end{matrix} \right.\ \Longrightarrow\]
\[\Longrightarrow \left\{ \begin{matrix} y = x + 14\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ x^{2} - 3 \cdot (x + 14)^{2} - 52 = 0 \\ \end{matrix} \right.\ \Longrightarrow\]
\[\Longrightarrow \left\{ \begin{matrix} y = x + 14\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ - 2x^{2} - 84x - 640 = 0 \\ \end{matrix} \right.\ \]
\[2x^{2} + 84x + 640 = 0\ \ \ \ |\ :2\]
\[x^{2} + 42x + 320 = 0\]
\[x_{1} + x_{2} = - 42;\ \ x_{1} \cdot x_{2} = 320\]
\[x_{1} = - 32;\ \ x_{2} = - 10;\]
\[1)\ x_{1} = - 32;\ \ \ \ \ y_{1} = - 18;\]
\[2)\ x_{2} = - 10;\ \ \ \ y_{2} = 4.\]
\[Ответ:( - 32; - 18);\ \ ( - 10;4).\]
\[\textbf{г)}\ \left\{ \begin{matrix} 3x^{2} + 2y^{2} = 11 \\ x + 2y = 3\ \ \ \ \ \ \ \ \\ \end{matrix} \right.\ \Longrightarrow\]
\[\Longrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 3 - 2y\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ 3 \cdot (3 - 2y)^{2} + 2y^{2} = 11 \\ \end{matrix} \right.\ \Longrightarrow\]
\[\Longrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 3 - 2y\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ 14y² - 36y + 16 = 0 \\ \end{matrix} \right.\ \]
\[7y^{2} - 18y + 8 = 0\]
\[D_{1} = 81 - 56 = 25\]
\[y_{1} = \frac{9 + 5}{7} = 2;\ \ \ \]
\[y_{2} = \frac{9 - 5}{7} = \frac{4}{7}.\]
\[1)\ \ y_{1} = 2;\ \ x_{1} = - 1;\]
\[2)\ y_{2} = \frac{4}{7};\ \ x_{2} = 1\frac{6}{7}.\]
\[Ответ:( - 1;2);\ \ \left( 1\frac{6}{7};\frac{4}{7} \right).\]
\[\textbf{д)}\ \left\{ \begin{matrix} x^{2} + y^{2} = 100 \\ 3x = 4y\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ \end{matrix} \right.\ \Longrightarrow\]
\[\Longrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = \frac{4}{3}\text{y\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ } \\ \frac{16}{9}y^{2} + y^{2} = 100 \\ \end{matrix} \right.\ \Longrightarrow\]
\[\Longrightarrow \left\{ \begin{matrix} y^{2} = 36 \\ x = \frac{3}{4}\text{y\ \ } \\ \end{matrix} \right.\ \Longrightarrow\]
\[\Longrightarrow \left\{ \begin{matrix} y_{1} = 6 \\ x_{1} = 8 \\ \end{matrix} \right.\ \text{\ \ \ }или\ \left\{ \begin{matrix} y_{2} = - 6 \\ x_{2} = - 8. \\ \end{matrix} \right.\ \]
\[Ответ:( - 8; - 6);\ \ (8;6).\]
\[\textbf{е)}\ \left\{ \begin{matrix} 2x^{2} - y^{2} = 32 \\ 2x - y = 8\ \ \ \ \ \ \\ \end{matrix} \right.\ \Longrightarrow\]
\[\Longrightarrow \left\{ \begin{matrix} y = 2x - 8\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ 2x^{2} - \left( 4x^{2} - 32x + 64 \right) - 32 = 0 \\ \end{matrix} \right.\ \Longrightarrow\]
\[\Longrightarrow \left\{ \begin{matrix} y = 2x - 8\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ x² - 16x + 48 = 0 \\ \end{matrix} \right.\ \ \]
\[x^{2} - 16x + 48 = 0\]
\[D_{1} = 64 - 48 = 16\]
\[x_{1} = 8 + 4 = 12;\ \ \ \]
\[x_{2} = 8 - 4 = 4.\]
\[1)\ x_{1} = 12;\ \ \ y_{1} = 16;\]
\[2)\ x_{2} = 4;\ \ \ \ \ \ y_{2} = 0.\]
\[Ответ:(4;0);(12;16).\]
