Решебник по алгебре 11 класс Никольский Параграф 6. Первообразная и интеграл Задание 7

\[\boxed{\mathbf{7}.}\]

\[\textbf{а)}\ f(x) = x;\ \ A(2;0);\]

\[\int_{}^{}\text{xdx} = \frac{x^{1 + 1}}{1 + 1} + C = \frac{x^{2}}{2} + C;\]

\[Множество\ всех\ \]

\[первообразных\ функции\ f(x):\]

\[F(x) = \frac{x^{2}}{2} + C.\]

\[A(2;0):\]

\[0 = \frac{2^{2}}{2} + C\]

\[0 = 2 + C\]

\[C = - 2.\]

\[Искомая\ первообразная:\]

\[F(x) = \frac{x^{2}}{2} - 2.\]

\[\textbf{б)}\ f(x) = x^{2};\ \ A(3;6);\]

\[\int_{}^{}{x^{2}\text{dx}} = \frac{x^{2 + 1}}{2 + 1} + C = \frac{x^{3}}{3} + C;\]

\[Множество\ всех\ \]

\[первообразных\ функции\ f(x):\]

\[F(x) = \frac{x^{3}}{3} + C.\]

\[A(3;6):\]

\[6 = \frac{3^{3}}{3} + C\]

\[6 = 9 + C\]

\[C = - 3.\]

\[Искомая\ первообразная:\]

\[F(x) = \frac{x^{3}}{3} - 3.\]

\[\textbf{в)}\ f(x) = x^{3};\ \ A( - 2;3);\]

\[\int_{}^{}{x^{3}\text{dx}} = \frac{x^{3 + 1}}{3 + 1} + C = \frac{x^{4}}{4} + C;\]

\[Множество\ всех\ \]

\[первообразных\ функции\ f(x):\]

\[F(x) = \frac{x^{4}}{4} + C.\]

\[A( - 2;3):\]

\[3 = \frac{( - 2)^{4}}{4} + C\]

\[3 = 4 + C\]

\[C = - 1.\]

\[Искомая\ первообразная:\]

\[F(x) = \frac{x^{4}}{4} - 1.\]

\[\textbf{г)}\ f(x) = \sin x;\ \ A\left( \frac{\pi}{2};2 \right);\]

\[\int_{}^{}{\sin x\text{dx}} = - \cos x + C;\]

\[Множество\ всех\ \]

\[первообразных\ функции\ f(x):\]

\[F(x) = - \cos x + C.\]

\[A\left( \frac{\pi}{2};2 \right):\]

\[2 = - \cos\frac{\pi}{2} + C\]

\[2 = 0 + C\]

\[C = 2.\]

\[Искомая\ первообразная:\]

\[F(x) = - \cos x + 2.\]