Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаРешебник по алгебре 11 класс Никольский Параграф 5. Применение производной Задание 78
Задание 78
\[\boxed{\mathbf{78}\mathbf{.}}\]
\[\textbf{а)}\ f(x) = \left| x^{2} - 1 \right| =\]
\[= \left\{ \begin{matrix} x^{2} - 1;\ \ x^{2} - 1 > 0;\ \ x < - 1;x > 1 \\ 1 - x^{2};\ \ x^{2} - 1 < 0;\ \ \ \ \ \ - 1 < x < 1 \\ \end{matrix} \right.\ \]
\[x < - 1;\ x > 1:\]
\[f'(x) = 2x;\]
\[f^{''}(x) = 2 > 0 \rightarrow график\]
\[\ имеет\ выпуклость\ вниз.\]
\[- 1 < x < 1:\]
\[f^{'}(x) = - 2x;\]
\[f^{''}(x) = - 2 < 0 \rightarrow график\ \]
\[имеет\ выпуклость\ вверх.\]
\[Уравнение\ f^{''}(x) = 0\ не\ имеет\]
\[\ корней.\]
\[Значит,\ у\ данной\ функции\ нет\ \]
\[точек\ перегиба.\]
\[\textbf{б)}\ f(x) = \left| \sin x \right| =\]
\[= \left\{ \begin{matrix} \sin x;\ \sin x > 0;\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \pi n < x < \pi + \pi n \\ - \sin x;\ \sin x < 0;\ \ \pi + \pi n < x < 2\pi + \pi n \\ \end{matrix} \right.\ \]
\[\pi n < x < \pi + \pi n:\]
\[f^{'}(x) = \cos x;\]
\[f^{''}(x) = - \sin x < 0 \rightarrow график\]
\[\ функции\ имеет\ выпуклость\ \]
\[вверх.\]
\[\pi + \pi n < x < 2\pi + \pi n:\]
\[f^{'}(x) = - \cos x;\]
\[f^{''}(x) = \sin x < 0 \rightarrow график\ \]
\[функции\ имеет\ выпуклость\ \]
\[вверх.\]
\[Функция\ при\ всех\]
\[\ x \in (\pi n;\ \pi + \pi n)\ \]
\[выпукла\ вверх.\]
\[Знак\ функции\ не\ меняется.\]
\[Значит,\ точек\ перегиба\ нет.\]
\[\textbf{в)}\ f(x) = tg\ x =\]
\[= \left\{ \begin{matrix} tg\ x;\ \ tg\ x > 0;\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \pi n < x < \frac{\pi}{2} + \pi n \\ - tg\ x;\ \ tg\ x < 0;\ \ \ \frac{\pi}{2} + \pi n < x < \pi + \pi n \\ \end{matrix} \right.\ \]
\[\pi n < x < \frac{\pi}{2} + \pi n:\]
\[f^{'}(x) = \frac{1}{\cos^{2}x};\]
\[f^{''}(x) = \left( \cos^{- 2}x \right)^{'} =\]
\[= ( - 2) \cdot \cos^{- 3}x \cdot \left( \cos x \right)^{'} =\]
\[= - 2\cos^{- 3}x( - \sin x) =\]
\[= \frac{2\sin x}{\cos^{3}x} = \frac{2tg\ x}{\cos^{2}x} > 0 \rightarrow график\ \]
\[имеет\ выпуклость\ вниз.\]
\[\frac{\pi}{2} + \pi n < x < \pi + \pi n:\]
\[f^{'}(x) = - \frac{1}{\cos^{2}x};\]
\[f^{''}(x) = - \frac{2tg\ x}{\cos^{2}x} > 0 \rightarrow график\ \]
\[имеет\ выпуклость\ вниз.\]
\[При\ всех\ x\ функция\ выпукла\ \]
\[вниз\]
\[Знак\ f^{''}(x)\ не\ меняется.\]
\[Значит,\ у\ данной\ функции\ нет\ \]
\[точек\ перегиба.\]
