Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаРешебник по алгебре 11 класс Никольский Параграф 5. Применение производной Задание 76
Задание 76
\[\boxed{\mathbf{76}\mathbf{.}}\]
\[\textbf{а)}\ f(x) = x^{3} + 3x^{2}\]
\[f^{'}(x) = 3x^{2} + 6x;\]
\[f^{''}(x) = 6x + 6.\]
\[6x + 6 = 0\]
\[6x = - 6\]
\[x = - 1 \rightarrow точка\ перегиба.\]
\[При\ x < - 1:\]
\[выпуклость\ вверх.\]
\[При\ x > - 1:\]
\[выпуклость\ вниз.\]
\[\textbf{б)}\ f(x) = x^{3} - 3x^{2} + 5x - 4;\]
\[f'(x) = 3x^{2} - 6x + 5;\]
\[f^{''}(x) = 6x - 6;\]
\[6x - 6 = 0\]
\[6x = 6\]
\[x = 1 \rightarrow точка\ перегиба.\]
\[При\ x < 1:\]
\[выпуклость\ вверх.\]
\[При\ x > 1:\]
\[выпуклость\ вниз.\]
\[\textbf{в)}\ f(x) = - 2x^{3} + 3x^{2};\]
\[f^{'}(x) = - 6x^{2} + 6x;\]
\[f^{''}(x) = - 12x + 6;\]
\[- 12x + 6 = 0\]
\[- 12x = - 6\]
\[x = 0,5 \rightarrow точка\ перегиба.\]
\[При\ x > 0,5:\]
\[выпуклость\ вверх.\]
\[При\ x < 0,5:\]
\[выпуклость\ вниз.\]
\[\textbf{г)}\ f(x) = - 4x^{3} - 6x^{2} + 7x;\]
\[f^{'}(x) = - 12x^{2} - 12x;\]
\[f^{''}(x) = - 24x - 12;\]
\[- 24x - 12 = 0\]
\[- 24x = 12\]
\[x = - 0,5 \rightarrow точка\ перегиба.\]
\[При\ x > - 0,5:\]
\[выпуклость\ вверх.\]
\[При\ x < - 0,5:\]
\[выпуклость\ вниз.\]
\[\textbf{д)}\ f(x) = 5^{x};\]
\[f^{'}(x) = 5^{x}\ln 5;\]
\[f^{''}(x) = 5^{x}\left( \ln 5 \right)^{2};\]
\[5^{x}\left( \ln 5 \right)^{2} = 0\]
\[нет\ решений.\]
\[Нет\ точек\ перегиба.\]
\[При\ x \in R\ функция\ имеет\ \]
\[выпуклость\ вниз.\]
\[\textbf{е)}\ f(x) = (0,5)^{x};\]
\[f^{'}(x) = (0,5)^{x}\ln{0,5};\]
\[f^{''}(x) = (0,5)^{x}\left( \ln{0,5} \right)^{2};\]
\[(0,5)^{x}\left( \ln{0,5} \right)^{2} = 0\]
\[нет\ решений.\]
\[Нет\ точек\ перегиба.\]
\[При\ x \in R\ функция\ имеет\ \]
\[выпуклость\ вниз.\]
\[\textbf{ж)}\ f(x) = \log_{2}x;\]
\[f^{'}(x) = \frac{1}{x\ln 2};\]
\[f^{''}(x) = - \frac{1}{x^{2}\left( \ln 2 \right)^{2}};\]
\[- \frac{1}{x^{2}\left( \ln 2 \right)^{2}} = 0\]
\[нет\ решений.\]
\[Нет\ точек\ перегиба.\]
\[При\ x \in R\ функция\ имеет\ \]
\[выпуклость\ вверх.\]
\[\textbf{з)}\ f(x) = \log_{0,7}x;\]
\[f^{'}(x) = \frac{1}{x\ln{0,7}};\]
\[f^{''}(x) = - \frac{1}{x^{2}\left( \ln{0,7} \right)^{2}};\]
\[- \frac{1}{x^{2}\left( \ln{0,7} \right)^{2}} = 0\]
\[нет\ решений.\]
\[Нет\ точек\ перегиба.\]
\[При\ x \in R\ функция\ имеет\ \]
\[выпуклость\ вверх.\]
\[\textbf{и)}\ f(x) = \sin x;\]
\[f^{'}(x) = \cos x;\]
\[f^{''}(x) = - \sin x;\]
\[\sin x = 0\]
\[x = \pi k \rightarrow точка\ перегиба.\]
\[При\ 2\pi k < x < \pi + 2\pi k:\]
\[выпуклость\ вверх.\]
\[При - \pi + 2\pi k < x < 2\pi k:\]
\[выпуклость\ вниз.\]
\[к)\ f(x) = \cos x;\]
\[f^{'}(x) = - \sin x;\]
\[f^{''}(x) = - \cos x;\]
\[- \cos x = 0\]
\[\cos x = 0\]
\[x = \frac{\pi}{2} + \pi k \rightarrow точка\ перегиба.\]
\[При\ \ \frac{\pi}{2} + 2\pi k < x < \frac{3\pi}{2} + 2\pi k:\]
\[выпуклость\ вверх.\]
\[При\ - \frac{\pi}{2} + 2\pi k < x < \frac{\pi}{2} + \pi k:\]
\[выпуклость\ вниз.\]
\[л)\ f(x) = tg\ x;\]
\[f^{'}(x) = \frac{1}{\cos^{2}x};\]
\[f^{''}(x) = \frac{- 2\cos x\sin x}{\cos^{4}x} =\]
\[= - \frac{2\sin x}{\cos^{3}x};\]
\[- \frac{2\sin x}{\cos^{3}x} = 0;\ \cos^{3}x \neq 0\]
\[\sin x = 0\]
\[x = \pi k;\ \ \ \ x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k;\]
\[x = \pi k \rightarrow точка\ перегиба.\]
\[При\ 2\pi k < x < \frac{\pi}{2} + \pi k:\]
\[выпуклость\ вверх.\]
\[При\ - \frac{\pi}{2} + \pi k < x < \pi k:\]
\[выпуклость\ вниз.\]
\[м)\ f(x) = ctg\ x;\]
\[f^{'}(x) = \frac{1}{\sin^{2}x};\ \]
\[f^{''}(x) = \frac{- 2\sin x\cos x}{\sin^{4}x} = \frac{2\cos x}{\sin^{3}x};\]
\[\frac{2\cos x}{\sin^{3}x} = 0;\ \ \sin^{3}x \neq 0\]
\[\cos x = 0\]
\[x = \frac{\pi}{2} + \pi k;\ \ x \neq \ \pi k;\]
\[x = \frac{\pi}{2} + \pi k \rightarrow точка\ перегиба.\]
\[При\ \pi k < x < \frac{\pi}{2} + \pi k:\]
\[выпуклость\ вниз.\]
\[При\ - \frac{\pi}{2} + \pi k < x < \pi k:\]
\[выпуклость\ вверх.\]
