Решебник по алгебре 11 класс Никольский Параграф 5. Применение производной Задание 1

\[\boxed{\mathbf{1}\mathbf{.}}\]

\[\textbf{а)}\ Наибольшее\ значение\ \]

\[функции\ на\ отрезке\ \lbrack a;b\rbrack\]

\[\ называют\ еще\]

\[максимум\ функции\ на\ отрезке\]

\[\ \lbrack a;b\rbrack\ и\ обозначают\ \max_{\lbrack a;b\rbrack}{f(x)}.\]

\[\textbf{б)}\ Наименьшее\ значение\ \]

\[функции\ на\ отрезке\ \lbrack a;b\rbrack\ \]

\[называют\ еще\]

\[минимумом\ функции\ на\ отрезке\]

\[\ \lbrack a;b\rbrack\ и\ обозначают\ \min_{\lbrack a;b\rbrack}{f(x)}.\]

\[\textbf{в)}\ Да,\ верно.\]

\[Если\ функция\ y = f(x)\ \]

\[непрерывна\ на\ отрезке\ \lbrack a;b\rbrack,\]

\[\ то\ существуют\]

\[точки\ этого\ отрезка,\ в\ которых\ \]

\[функция\ принимает\ свое\]

\[\ наибольшее\]

\[и\ наименьшее\ значения.\]

\[\textbf{г)}\ Точку\ отрезка\ \lbrack a;b\rbrack,\ в\ \]

\[которой\ функция\ достигает\]

\[\ максимума\ на\ \]

\[этом\ отрезке,\ называют\ точкой\]

\[\ максимума.\ Значение\ функции\ \]

\[в\ этой\]

\[точке\ и\ есть\ максимум\ функции\]

\[\ на\ отрезке.\]

\[Точку\ отрезка\ \lbrack a;b\rbrack,\ в\ которой\]

\[\ функция\ достигает\ минимума\]

\[\ на\ \]

\[этом\ отрезке,\ называют\ точкой\ \]

\[минимума.\ Значение\ функции\ \]

\[в\ этой\]

\[точке\ и\ есть\ минимум\ функции\ \]

\[на\ отрезке.\]

\[\textbf{д)}\ Точку\ x_{0}\ отрезка\ \lbrack a;b\rbrack\ \]

\[называют\ точкой\ локального\ \]

\[масимума\ \]

\[функции\ y = f(x),\ если\ \]

\[существует\ отрезок\]

\[\ \left\lbrack x_{0} - \delta;x_{0} + \delta \right\rbrack\ (\delta > 0),\]

\[целиком\ принадлежащий\ \]

\[отрезку\ \lbrack a;b\rbrack,\ на\ котором\ x_{0}\ \]

\[является\]

\[точкой\ максимума.\]

\[Точку\ x_{0}\ отрезка\ \lbrack a;b\rbrack\ называют\ \]

\[точкой\ локального\ минимума\ \]

\[функции\ y = f(x),\ если\ \]

\[существует\ отрезок\]

\[\ \left\lbrack x_{0} - \delta;x_{0} + \delta \right\rbrack\ (\delta > 0),\]

\[целиком\ принадлежащий\]

\[\ отрезку\ \lbrack a;b\rbrack,\ на\ котором\ x_{0}\ \]

\[является\]

\[точкой\ минимума.\]

\[Значения\ функции\ в\ этих\]

\[\ точках\ называют\ локальным\]

\[\ максимумом\]

\[и\ локальным\ минимумом.\]

\[\textbf{е)}\ Точки\ локального\ минимума\]

\[\ и\ локального\ максимума\ \]

\[функции\ \]

\[y = f(x)\ называют\ точками\]

\[\ локального\ экстремума\ этой\ \]

\[функции.\]

\[\textbf{ж)}\ Верно.\ Например,\ для\ \]

\[функции\ y = x^{5}\ производная\]

\[\ y^{'} = 5x^{4} = 0\ \]

\[при\ x = 0.\ Но\ точка\ x = 0\ не\ \]

\[является\ точкой\ локального\ \]

\[экстремума.\]

\[\textbf{з)}\ Внутренние\ точки\ отрезка,\]

\[\ в\ которых\ производная\ \]

\[функции\ f(x)\]

\[равна\ нулю\ или\ не\ существует,\]

\[\ называют\ критическими\ \]

\[точками\]

\[функции\ f(x)\ на\ этом\ отрезке.\]

\[\textbf{и)}\ При\ отыскании\ максимума\]

\[\ или\ минимума\ функции\ на\ \]

\[отрезке\ \]

\[надо\ найти\ критические\ точки,\ \]

\[лежащие\ внутри\ этого\ отрезка,\]

\[\ и\]

\[сравнить\ значения\ функции\ на\ \]

\[концах\ отрезка\ и\ в\ критических\]

\[точках.\]

\[к)\ Минимум\ и\ максимум\ на\ \]

\[интервале\ и\ полуинтервале\ \]

\[определяются\]

\[также,\ как\ и\ на\ отрезке.\ Однако\]

\[\ имеется\ разница\ в\ том,\ что\ \]

\[максимум\]

\[или\ минимум\ может\ не\ \]

\[достигаться.\]