Решебник по алгебре 11 класс Никольский Параграф 2. Предел функции и непрерывность Задание 16

\[\boxed{\mathbf{16.}}\]

\[\textbf{а)}\ \lim_{x \rightarrow 0}\frac{\text{tgx}}{x} = 1\]

\[tg\ x = \frac{\sin x}{\cos x};\]

\[\frac{\text{tgx}}{x} = \frac{\sin x}{\cos x}\ :x = \frac{\sin x}{\cos x \cdot x} =\]

\[= \frac{\sin x}{x} \cdot \frac{1}{\cos x};\]

\[\ \lim_{x \rightarrow 0}\frac{\text{tgx}}{x} = \ \lim_{x \rightarrow 0}{\frac{\sin x}{x} \cdot \frac{1}{\cos x}} =\]

=\(\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin x}{x} \cdot \lim_{x \rightarrow 0}\frac{1}{\cos x} =\)

\[= \lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin x}{x} \cdot \frac{1}{\lim_{x \rightarrow 0}{\cos x}} =\]

\[= 1 \cdot \frac{1}{\cos 0} = 1 \cdot 1 = 1.\]

\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]

\[\textbf{б)}\ \lim_{x \rightarrow 0}\frac{\text{tgx}}{\sin x} = 1\]

\[tg\ x = \frac{\sin x}{\cos x};\]

\[\frac{\text{tgx}}{x} = \frac{\sin x}{\cos x}\ :\sin x =\]

\[= \frac{\sin x}{\cos x \cdot \sin x} = \frac{1}{\cos x};\]

\[\ \lim_{x \rightarrow 0}\frac{\text{tgx}}{x} = \ \lim_{x \rightarrow 0}\frac{1}{\cos x} =\]

\[= \lim_{x \rightarrow 0}\frac{1}{\cos x} = \frac{1}{\cos 0} = \frac{1}{1} = 1.\]

\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]