Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаРешебник по алгебре 11 класс Никольский Параграф 1. Функции и их графики Задание 69
Задание 69
\[\boxed{\mathbf{69.}}\]
\[\textbf{а)}\ y = 3 - \sqrt{9 - x^{2} + 8x}\]
\[9 - x^{2} + 8x = - x^{2} + 8x + 9 =\]
\[= - \left( x^{2} - 8x - 9 \right) =\]
\[= - \left( x^{2} - 8x + 16 - 16 - 9 \right) =\]
\[= - \left( (x - 4)^{2} - 25 \right) =\]
\[= - (x - 4)^{2} + 25 =\]
\[= 5^{2} - (x - 4);\]
\[y = 3 - \sqrt{5^{2} - (x - 4)^{2}}\]
\[R = 5;\ \ O(4;3);\ \]
\[Построим\ полуокружность\]
\[\ y = \sqrt{5^{2} - x^{2};}\ \ R = 5;\]
\[сдвинем\ ее\ на\ 4\ ед.\ вправо,\]
\[\ отразим\ относительно\ Ox,\ \]
\[сдвинем\]
\[на\ 3\ ед.\ вверх.\]
\[D(y) = \lbrack - 1;9\rbrack.\]
\[Нули\ функции:\]
\[x = 0;\ \ x = 8.\]
\[y > 0\ при\ x \in \lbrack - 1;0) \cup (8;9\rbrack;\]
\[y < 0\ при\ x \in (0;8).\]
\[Возрастает\ на\ промежутке\ \]
\[\lbrack - 1;4\rbrack;\]
\[убывает\ на\ промежутке\ \lbrack 4;9\rbrack.\]
\[\textbf{б)}\ y = 4 - \sqrt{9 - x^{2} - 8x}\]
\[9 - x^{2} - 8x = - x^{2} - 8x + 9 =\]
\[= - \left( x^{2} + 8x - 9 \right) =\]
\[= - \left( x^{2} + 8x + 16 - 16 - 9 \right) =\]
\[= - (x + 4)^{2} + 25 = 5^{2} - (x + 4)^{2}\]
\[y = 4 - \sqrt{5^{2} - (x + 4)^{2}}\]
\[R = 5;\ \ O( - 4;4);\ \]
\[Построим\ полуокружность\]
\[\ y = \sqrt{5^{2} - x^{2};}\ \ R = 5;\]
\[сдвинем\ ее\ на\ 4\ ед.\ влево,\ \]
\[отразим\ относительно\ Ox,\ \]
\[сдвинем\]
\[на\ 4\ ед.\ вверх.\]
\[D(y) = \lbrack - 9;1\rbrack.\]
\[Нули\ функции:\]
\[x = - 7;\ \ x = - 1.\]
\[y > 0\ при\ x \in \lbrack - 9; - 7) \cup ( - 1;1\rbrack;\]
\[y < 0\ при\ x \in ( - 7; - 1).\]
\[Возрастает\ на\ промежутке\ \]
\[\lbrack - 4;1\rbrack;\]
\[убывает\ на\ промежутке\ \lbrack - 9; - 4\rbrack.\]
\[\textbf{в)}\ y = 12 - \sqrt{125 - x^{2} - 20x}\]
\[125 - x^{2} - 20x = - x^{2} - 20x +\]
\[+ 125 = - \left( x^{2} + 20x - 125 \right) =\]
\[= - \left( x^{2} + 20x + 100 - 100 - 125 \right) =\]
\[= - (x + 10)^{2} + 225 =\]
\[= 15^{2} - (x + 10)^{2}\]
\[y = 12 - \sqrt{15^{2} - (x + 10)}\]
\[R = 15;\ \ O( - 10;12);\ \]
\[Построим\ полуокружность\ \]
\[y = \sqrt{15^{2} - x^{2};}\ \ R = 15;\]
\[сдвинем\ ее\ на\ 10\ ед.\ влево,\]
\[\ отразим\ относительно\ Ox,\ \]
\[сдвинем\]
\[на\ 12\ ед.\ вверх.\]
\[D(y) = \lbrack - 25;5\rbrack.\]
\[Нули\ функции:\]
\[x = - 19;\ \ x = - 1.\]
\[y > 0\ при\ \]
\[x \in \lbrack - 25; - 19) \cup ( - 1;5\rbrack;\]
\[y < 0\ при\ x \in ( - 19; - 1).\]
\[Возрастает\ на\ промежутке\ \]
\[\lbrack - 10;5\rbrack;\]
\[убывает\ на\ промежутке\ \]
\[\lbrack - 25; - 10\rbrack.\]
\[\textbf{г)}\ y = - 5 + \sqrt{69 - x^{2} + 20x}\]
\[- x^{2} + 20x + 69 =\]
\[= - \left( x^{2} - 20x - 69 \right) =\]
\[= - \left( x^{2} - 20x + 100 - 100 - 69 \right) =\]
\[= - (x - 10)^{2} + 169 =\]
\[= 13^{2} - (x - 10)^{2}\]
\[y = - 5 + \sqrt{13^{2} - (x - 10)^{2}}\]
\[R = 13;\ \ O(10; - 5);\ \]
\[Построим\ полуокружность\ \]
\[y = \sqrt{13^{2} - x^{2};}\ \ R = 13;\]
\[сдвинем\ ее\ на\ 10\ ед.\ вправо,\ \]
\[сдвинем\ на\ 5\ ед.\ вниз.\]
\[D(y) = \lbrack - 3;23\rbrack.\]
\[Нули\ функции:\]
\[x = - 2;\ \ x = 22.\]
\[y < 0\ при\ x \in \lbrack - 3; - 2) \cup (22;23\rbrack;\]
\[y > 0\ при\ x \in ( - 2;22).\]
\[Возрастает\ на\ промежутке\]
\[\ \lbrack - 3;10\rbrack;\]
\[убывает\ на\ промежутке\ \lbrack 10;23\rbrack.\]
