Решебник по алгебре 11 класс Никольский Параграф 1. Функции и их графики Задание 30

\[\boxed{\mathbf{30.}}\]

\[f - периодическая\ функция:\]

\[f(x) = f(x + t).\]

\[Отсюда:\]

\[f(x + 2T) = f\left( (x + T) + T \right) =\]

\[= f(x + T) = f(x).\]

\[Следовательно:\]

\[f(x) = f(x + 2T).\]

\[Тогда:\]

\[f(x + 3T) = f\left( (x + 2T) + T \right) =\]

\[= f(x + T) = f(x);\]

\[f(x) = f(x + 3T).\]

\[Рассуждая\ аналогичным\ \]

\[образом,\ на\ некотором\ этапе\ \]

\[получим:\]

\[f(x) = f\left( x + (m - 1)T \right);\]

\[f(x + mT) =\]

\[= f(\left( x + (m - 1)T + T \right) =\]

\[= f(x + T) = f(x).\]

\[Следовательно:\]

\[f(x) = f(x + mt)\ для\ любого\]

\[m \in N;\]

\[или\ mT - период\ функции\ \text{f.}\]

\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]