Решебник по алгебре и начала математического анализа 11 класс Алимов Задание 956

\[\boxed{\mathbf{956}\mathbf{.}}\]

\[1)\ y = 2x^{3} + 3x^{2} - 2\]

\[y^{'}(x) =\]

\[= 2 \bullet \left( x^{3} \right)^{'} + 3 \bullet \left( x^{2} \right)^{'} - (2)^{'};\]

\[y^{'}(x) = 2 \bullet 3x^{2} + 3 \bullet 2x - 0 =\]

\[= 6x^{2} + 6x.\]

\[Промежуток\ возрастания:\]

\[6x^{2} + 6x > 0\]

\[(x + 1) \bullet 6x > 0\]

\[x < - 1\ или\ x > 0.\]

\[Ответ:\ \ возрастает\ \]

\[на\ ( - \infty;\ - 1) \cup (0;\ + \infty)\ и\ \]

\[убывает\ на\ ( - 1;\ 0).\]

\[2)\ y = \frac{2}{3}x^{3} - x^{2} - 4x + 5\]

\[y^{'}(x) =\]

\[= \frac{2}{3} \bullet \left( x^{3} \right)^{'} - \left( x^{2} \right)^{'} - (4x - 5)^{'};\]

\[y^{'}(x) = \frac{2}{3} \bullet 3x^{2} - 2x - 4 =\]

\[= 2x^{2} - 2x - 4.\]

\[Промежуток\ возрастания:\]

\[2x^{2} - 2x - 4 > 0\]

\[x^{2} - x - 2 > 0\]

\[D = 1^{2} + 4 \bullet 2 = 1 + 8 = 9\]

\[x_{1} = \frac{1 - 3}{2} = - 1;\text{\ \ }\]

\[x_{2} = \frac{1 + 3}{2} = 2.\]

\[(x + 1)(x - 2) > 0\]

\[x < - 1\ или\ x > 2.\]

\[Ответ:\ \ возрастает\ \]

\[на\ ( - \infty;\ - 1) \cup (2;\ + \infty)\ и\ \]

\[убывает\ на\ ( - 1;\ 2).\]

\[3)\ y = \frac{3}{x} - 1\]

\[y^{'}(x) = 3 \bullet \left( \frac{1}{x} \right)^{'} - (1)^{'} =\]

\[= 3 \bullet \left( - \frac{1}{x^{2}} \right) - 0 = - \frac{3}{x^{2}}.\]

\[Промежуток\ возрастания:\]

\[- \frac{3}{x^{2}} > 0;\ \ \ \ \ \ x \neq 0\]

\[x^{2} < - 3\]

\[нет\ корней.\]

\[Ответ:\ \ убывает\ \]

\[на\ ( - \infty;\ 0) \cup (0;\ + \infty).\]

\[4)\ y = \frac{2}{x - 3}\]

\[Пусть\ u = x - 3;\ \ \ y(u) = \frac{2}{u}:\]

\[f^{'}(x) = (x - 3)^{'} \bullet \left( \frac{2}{u} \right)^{'};\]

\[f^{'}(x) = 1 \bullet 2 \bullet \left( - \frac{1}{u^{2}} \right) =\]

\[= - \frac{2}{(x - 3)^{2}}.\]

\[Промежуток\ возрастания:\]

\[- \frac{2}{(x - 3)^{2}} > 0;\ \ \ \ \ \ x \neq 3\]

\[(x - 3)^{2} < - 2 - нет\ корней;\]

\[Ответ:\ \ убывает\ \]

\[на\ ( - \infty;\ 3) \cup (3;\ + \infty).\]