Решебник по алгебре и начала математического анализа 11 класс Алимов Задание 786

\[\boxed{\mathbf{786}\mathbf{.}}\]

\[1)\ \lim_{x \rightarrow 1}(2x + 1) = 3\]

\[\left| x - x_{0} \right| = |x - 1| < \delta\]

\[\left| f(x) - A \right| = |2x + 1 - 3| =\]

\[= |2x - 2| = 2|x - 1| < \varepsilon\]

\[|x - 1| < \frac{\varepsilon}{2}.\]

\[Выполняются\ при:\]

\[\delta = \frac{\varepsilon}{2}.\]

\[Существует\ число\ \delta,\ \]

\[удовлетворяющее\ определению.\ \]

\[Значит,\ предел\ данной\ \]

\[функции\ верный.\]

\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]

\[2)\ \lim_{x \rightarrow 2}x^{2} = 4\ \]

\[\left| x - x_{0} \right| = |x - 2| < \delta\]

\[\left| f(x) - A \right| = \left| x^{2} - 4 \right| =\]

\[= \left| (x - 2)(x + 2) \right| < \varepsilon.\]

\[Выполняются\ при:\]

\[\delta|x + 2| = \delta\left| (x - 2) + 4 \right| =\]

\[= \delta\left( |x - 2| + |4| \right) = \delta^{2} + 4\delta\]

\[\delta^{2} + 4\delta = \varepsilon\]

\[\delta^{2} + 4\delta - \varepsilon = 0\]

\[D = 4^{2} + 4\varepsilon = 16 + 4\varepsilon = 4(4 + \varepsilon)\]

\[\delta_{1} = \frac{- 4 + 2\sqrt{4 + \varepsilon}}{2} =\]

\[= - 2 + \sqrt{4 + \varepsilon}\text{\ \ \ }\]

\[\sqrt{4 + \varepsilon} > 2\]

\[\delta_{1} > 0.\]

\[Существует\ число\ \delta,\ \]

\[удовлетворяющее\ определению.\ \]

\[Значит,\ предел\ данной\ функции\ \]

\[верный.\]

\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]