Решебник по алгебре и начала математического анализа 11 класс Алимов Задание 53

\[\boxed{\mathbf{53}\mathbf{.}}\]

\[1)\ \sqrt{4 + 2\sqrt{3}} - \sqrt{4 - 2\sqrt{3}} = 2\]

\[\left( \sqrt{4 + 2\sqrt{3}} - \sqrt{4 - 2\sqrt{3}} \right)^{2} = 2^{2}\]

\[8 - 2\sqrt{16 - 4 \bullet 3} = 4\]

\[8 - 2\sqrt{16 - 12} = 4\]

\[8 - 2\sqrt{4} = 4\]

\[8 - 2 \bullet 2 = 4\]

\[8 - 4 = 4\]

\[4 = 4.\]

\[Тождество\ доказано.\]

\[2)\ \sqrt[3]{9 + \sqrt{80}} + \sqrt[3]{9 - \sqrt{80}} = 3\]

\[Пусть\ x =\]

\[= \sqrt[3]{9 + \sqrt{80}} + \sqrt[3]{9 - \sqrt{80}},\ тогда:\]

\[x^{3} = 18 + 3 \bullet 1 \bullet x\]

\[x^{3} - 3x - 18 = 0\]

\[(x - 3)\left( x^{2} + 3x + 6 \right) = 0\]

\[x - 3 = 0 \Longrightarrow \ x = 3.\]

\[3 = 3.\]

\[Тождество\ доказано.\]