Решебник по алгебре и начала математического анализа 11 класс Алимов Задание 1590

\[\boxed{\mathbf{1590}\mathbf{.}}\]

\[f(x) = - x^{3} + ax^{2} + bx + c;\]

\[\text{A\ }и\ B\ симметричны\ \text{\ x} = 2;\ \]

\[лежат\ на\ расстоянии\ \text{l\ }от\ нее:\]

\[A\left( 2 - l;\ f(2 - l) \right);\]

\[B\left( 2 + l;\ f(2 + l) \right).\]

\[f^{'}(x) = - \left( x^{3} \right)^{'} + a\left( x^{2} \right)^{'} + (bx + c)^{'} =\]

\[= - 3x^{2} + 2ax + b.\]

\[Касательные\ параллельны:\]

\[- 3(2 - l)^{2} + 2a(2 - l) + b =\]

\[= - 3(2 + l)^{2} + 2a(2 + l) + b\]

\[- 3\left( 4 - 4l + l^{2} \right) + 4a - 2al =\]

\[= - 3\left( 4 + 4l + l^{2} \right) + 4a + 2al\]

\[- 12 + 12l - 3l^{2} - 2al =\]

\[= - 12 - 12l - 3l^{2} + 2al\]

\[12l + 12l - 2al - 2al = 0\]

\[24l - 4al = 0\]

\[6l - al = 0\]

\[l(6 - a) = 0\]

\[a = 6;\]

\[\left( \text{l\ }не\ может\ быть\ равным\ нулю \right).\]

\[Касательная\ в\ точке\ t:\]

\[f^{'}(t) = - 3t^{2} + 2 \bullet 6t + b =\]

\[= - 3t^{2} + 12t + b;\]

\[f(t) = - t^{3} + 6t^{2} + bt + c;\]

\[y = b \bullet 0 + c + 2t^{3} - 3t^{2} \bullet 0 - 6t^{2} + 12t \bullet 0\]

\[y = c + 2t^{3} - 6t^{2}.\]

\[Касательная\ через\ точку\ (0;\ 2):\]

\[2 = c + 2(2 - l)^{3} - 6(2 - l)^{2}\]

\[c - 2l^{3} + 6l^{2} - 10 = 0\]

\[c = 2l^{3} - 6l^{2} + 10.\]

\[Касательная\ через\ точку\ (0;\ 6):\]

\[6 = c + 2(2 + l)^{3} - 6(2 + l)^{2}\]

\[c + 2l^{3} + 6l^{2} - 14 = 0\]

\[c = - 2l^{3} - 6l^{2} + 14.\]

\[Найдем\ значение\ l:\]

\[2l^{3} - 6l^{2} + 10 = - 2l^{3} - 6l^{2} + 14\]

\[4l^{3} = 4\]

\[l^{3} = 1\]

\[l = 1.\]

\[Найдем\ значение\ c:\]

\[c = 2 \bullet 1^{3} - 6 \bullet 1^{2} + 10 =\]

\[= 2 - 6 + 10 = 6.\]

\[Координаты\ точки\ A:\]

\[2 - l = 2 - 1 = 1;\]

\[f(1) = - 1^{3} + 6 \bullet 1^{2} + b \bullet 1 + 6 =\]

\[= - 1 + 6 + b + 6 = b + 11;\]

\[A(1;\ b + 11).\]

\[Координаты\ точки\ B:\]

\[2 + l = 2 + 1 = 3;\]

\[f(3) = - 3^{3} + 6 \bullet 3^{2} + b \bullet 3 + 6 =\]

\[= - 27 + 54 + 3b + 6 = 3b + 33;\]

\[B(3;\ 3b + 33).\]

\[Точки\ A\ и\ \text{B\ }симметричны\ \]

\[относительно\ прямой\ x = 2:\]

\[b + 11 = 3b + 33\]

\[- 2b = 22\]

\[b = - 11.\ \]

\[Ответ:\ \ a = 6;\ \ b = - 11;\ \ c = 6.\]