Решебник по алгебре и начала математического анализа 11 класс Алимов Задание 1574

\[\boxed{\mathbf{1574}\mathbf{.}}\]

\[1)\ x^{\lg^{2}x - 3\lg x + 1} > 1000\]

\[\log_{x}x^{\lg^{2}x - 3\lg x + 1} > \log_{x}1000\]

\[\log_{x}x^{\lg^{2}x - 3\lg x + 1} > \frac{\log_{1000}1000}{\log_{1000}x}\]

\[\lg^{2}x - 3\lg x + 1 > \frac{1}{\log_{10^{3}}x}\]

\[\lg^{2}x - 3\lg x + 1 > \frac{3}{\lg x}\]

\[Пусть\ y = \lg x,\ тогда:\]

\[y^{2} - 3y + 1 > \frac{3}{y}\ \ \ \ \ | \bullet y^{2}\]

\[y^{4} - 3y^{3} + y^{2} > 3y\]

\[y^{4} + y^{2} - 3y^{3} - 3y > 0\]

\[y^{2}\left( y^{2} + 1 \right) - 3y\left( y^{2} + 1 \right) > 0\]

\[\left( y^{2} - 3y \right)\left( y^{2} + 1 \right) > 0\]

\[y^{2} - 3y > 0\]

\[y \bullet (y - 3) > 0\]

\[y < 0\ и\ y > 3.\]

\[Первое\ значение:\]

\[\lg x < 0\]

\[\lg x < \lg 10^{1}\]

\[x < 1.\]

\[Второе\ значение:\]

\[\lg x > 3\]

\[\lg x > \lg 10^{3}\]

\[x > 1000.\]

\[Имеет\ смысл\ при:\]

\[x > 0\ \ и\ \ x > 1.\]

\[Ответ:\ \ x > 1000.\]

\[2)\ 3^{\lg x + 2} < 3^{\lg x^{2} + 5} - 2\]

\[3^{\lg x + 2} - 3^{2\lg x + 5} - 2 < 0\]

\[3^{2\left( \lg x + 2 \right)} \bullet 3 - 3^{\lg x + 2} + 2 > 0\]

\[y = 3^{\lg x + 2}:\]

\[3y^{2} - y - 2 > 0\]

\[D = 1 + 24 = 25\]

\[y_{1} = \frac{1 - 5}{2 \bullet 3} = - \frac{4}{6} = - \frac{2}{3};\]

\[y_{2} = \frac{1 + 5}{2 \bullet 3} = 1.\]

\[\left( y + \frac{2}{3} \right)(y - 1) > 0\]

\[y < - \frac{2}{3}\ и\ y > 1.\]

\[Первое\ значение:\]

\[3^{\lg x + 2} < - \frac{2}{3}\]

\[корней\ нет.\]

\[Второе\ значение:\]

\[3^{\lg x + 2} > 1\]

\[3^{\lg x + 2} > 3^{0}\]

\[\lg x + 2 > 0\]

\[\lg x > - 2\]

\[\lg x > \lg 10^{- 2}\]

\[x > 0,01.\]

\[Имеет\ смысл\ при:\]

\[x > 0.\]

\[Ответ:\ \ x > 0,01.\]