Решебник по алгебре и начала математического анализа 11 класс Алимов Задание 1517

\[\boxed{\mathbf{1517}\mathbf{.}}\]

\[y = x^{2};\ \ A\left( 2;\ \frac{1}{2} \right).\]

\[a\ и\ b - абсцисса\ и\ ордината\ \]

\[искомой\ точки:\]

\[b = a^{2}.\]

\[Расстояние\ между\ точками:\]

\[d(a) = \sqrt{(2 - a)^{2} + (0,5 - b)^{2}} =\]

\[= \sqrt{(2 - a)^{2} + \left( 0,5 - a^{2} \right)^{2}} =\]

\[= \sqrt{4 - 4a + a^{2} + 0,25 - a^{2} + a^{4}} =\]

\[= \sqrt{a^{4} - 4a + 4,25}.\]

\[u = a^{4} - 4a + 4,25;\ d(u) = \sqrt{u}:\]

\[d^{'}(a) = \left( a^{4} - 4a + 4,25 \right)^{'} \bullet \left( \sqrt{u} \right)^{'} =\]

\[= \left( 4a^{3} - 4 \right) \bullet \frac{1}{2\sqrt{u}} =\]

\[= \frac{2a^{3} - 2}{\sqrt{a^{4} - 4a + 4,25}}.\]

\[Промежуток\ возрастания:\]

\[2a^{3} - 2 > 0\]

\[a^{3} - 1 > 0\]

\[a^{3} > 1\]

\[a > 1.\]

\[a = 1 - точка\ минимума;\]

\[b = 1^{2} = 1.\]

\[Ответ:\ \ (1;\ 1).\]

\[\mathbf{1518}\mathbf{.}\]

\[A(3;\ - 1)\ и\ D(4;\ - 1);\]

\[лежат\ на\ y = - 1.\]

\[\text{AD} = 4 - 3 = 1.\]

\[x - абсцисса\ одной\ из\ вершин\ \]

\[второго\ основания;\]

\[( - x) - абсцисса\ второй\ точки\ \]

\[\left( y = 1 - x^{2} - четная\ функция \right);\]

\[BC = x - ( - x) = 2x - длина\ \]

\[второго\ основания;\]

\[h = y(x) - ( - 1) =\]

\[= \left( 1 - x^{2} \right) + 1 = 2 - x^{2}.\]

\[S(x) = \frac{1}{2}h \bullet (AD + BC) =\]

\[= \frac{1}{2} \bullet \left( 2 - x^{2} \right) \bullet (2x + 1) =\]

\[= \frac{1}{2} \bullet \left( 4x + 2 - 2x^{3} - x^{2} \right);\]

\[S^{'}(x) =\]

\[= \frac{1}{2} \bullet \left( (4x + 2)^{'} - 2\left( x^{3} \right)^{'} - \left( x^{2} \right)^{'} \right) =\]

\[= \frac{1}{2} \bullet \left( 4 - 2 \bullet 3x^{2} - 2x \right) =\]

\[= 2 - 3x^{2} - x.\]

\[Промежуток\ возрастания:\]

\[2 - 3x^{2} - x > 0\]

\[3x^{2} + x - 2 < 0\]

\[D = 1 + 24 = 25\]

\[x_{1} = \frac{- 1 - 5}{2 \bullet 3} = - 1;\]

\[x_{2} = \frac{- 1 + 5}{2 \bullet 3} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3};\]

\[(x + 1)\left( x - \frac{2}{3} \right) < 0\]

\[- 1 < x < \frac{2}{3}.\]

\[x = \frac{2}{3} - точка\ максимума;\]

\[S\left( \frac{2}{3} \right) = \frac{1}{2}\left( 4 \bullet \frac{2}{3} + 2 - 2 \bullet \frac{8}{27} - \frac{4}{9} \right) =\]

\[= \frac{49}{27} = 1\frac{22}{27}.\]

\[Ответ:\ \ 1\frac{22}{27}.\]