Решебник по алгебре и начала математического анализа 11 класс Алимов Задание 1420

\[\boxed{\mathbf{1420}\mathbf{.}}\]

\[1)\ \frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a} \geq 3;\]

\[a > 0,\ \ \ b > 0,\ \ \ c > 0:\]

\[\frac{1}{3} \bullet \left( \frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a} \right) \geq 1\]

\[\frac{1}{3} \bullet \left( \frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a} \right) \geq \sqrt[3]{\frac{a}{b} \bullet \frac{b}{c} \bullet \frac{c}{a}}.\]

\[Среднее\ арифметическое\ не\ \]

\[меньше\ среднего\ \]

\[геометрического.\]

\[Неравенство\ доказано.\]

\[2)\ 2a^{2} + b^{2} + c^{2} \geq 2a(b + c)\]

\[2a^{2} + b^{2} + c^{2} \geq 2ab + 2ac\]

\[a^{2} - 2ab + b^{2} + a^{2} - 2ac + c^{2} \geq 0\]

\[(a - b)^{2} + (a - c)^{2} \geq 0.\]

\[Неравенство\ доказано.\]