Решебник по алгебре и начала математического анализа 11 класс Алимов Задание 1418

\[\boxed{\mathbf{1418}\mathbf{.}}\]

\[1)\ ab \leq \frac{a^{2} + b^{2}}{2}\]

\[2ab < a^{2} + b^{2}\]

\[a^{2} - 2ab + b^{2} > 0\]

\[(a - b)^{2} > 0.\]

\[Неравенство\ доказано.\]

\[2)\ \frac{a^{3} + b^{3}}{2} > \left( \frac{a + b}{2} \right)^{3}\]

\[a > 0;\ \ \ b > 0;\ \ \ a \neq b:\]

\[\frac{a^{3} + b^{3}}{2} > \frac{a^{3} + 3a^{2}b + 3ab^{2} + b^{3}}{8}\]

\[\frac{4a^{3} + 4b^{3} - a^{3} - 3a^{2}b - 3ab^{2} - b^{3}}{8} > 0\]

\[3a^{3} + 3b^{3} - 3a^{2}b - 3ab^{2} > 0\]

\[a^{3} - a^{2}b + b^{3} - ab^{2} > 0\]

\[a^{2} \bullet (a - b) - b^{2} \bullet (a - b) > 0\]

\[\left( a^{2} - b^{2} \right)(a - b) > 0\ \]

\[(a - b)(a + b)(a - b) > 0\]

\[(a - b)^{2}(a + b) > 0.\]

\[Неравенство\ доказано.\]