Решебник по алгебре и начала математического анализа 11 класс Алимов Задание 111

\[\boxed{\mathbf{111}\mathbf{.}}\]

\[1)\ a = \frac{2}{\sqrt{5} - \sqrt{3}} + \frac{5}{3 + 2\sqrt{2}}\text{\ \ }и\ \]

\[b = \frac{2}{\sqrt{8} - \sqrt{5}}\]

\[Допустим,\ что\ верно:\]

\[\sqrt{5} - \sqrt{3} < \sqrt{8} - \sqrt{5};\]

\[2\sqrt{5} < \sqrt{8} + \sqrt{3};\]

\[4 \bullet 5 < 8 + 2\sqrt{8 \bullet 3} + 3;\]

\[20 < 11 + 2\sqrt{24};\]

\[9 < 2\sqrt{24};\]

\[81 < 4 \bullet 24;\]

\[81 < 96 - верно.\]

\[\frac{2}{\sqrt{5} - \sqrt{3}} > \frac{2}{\sqrt{8} - \sqrt{5}};\]

\[Ответ:\ \ a > b.\]

\[2)\ a = \sqrt{2} + \sqrt{3}\text{\ \ }и\ \ b = \sqrt{10}\]

\[Допустим,\ что\ верно:\]

\[\sqrt{2} + \sqrt{3} > \sqrt{10};\]

\[2 + 2\sqrt{2 \bullet 3} + 3 > 10;\]

\[5 + 2\sqrt{6} > 10;\]

\[2\sqrt{6} > 5;\]

\[4 \bullet 6 > 25;\]

\[24 > 25 - неверно.\]

\[Следовательно:\ \ \]

\[\sqrt{2} + \sqrt{3} < \sqrt{10}.\]

\[Ответ:\ \ a < b.\]

\[3)\ a = 5 - \sqrt{15}\text{\ \ }и\ \ b = \sqrt{17} - 3\]

\[Допустим,\ что\ верно:\]

\[5 - \sqrt{15} > \sqrt{17} - 3;\]

\[5 + 3 > \sqrt{17} + \sqrt{15};\]

\[8 > \sqrt{17} + \sqrt{15};\]

\[64 > 17 + 2\sqrt{17 \bullet 15} + 15;\]

\[64 > 32 + 2\sqrt{255};\]

\[32 > 2\sqrt{255};\]

\[16 > \sqrt{255};\]

\[256 > 255 - верно.\]

\[Ответ:\ \ a > b.\]

\[4)\ a = \sqrt{13} - \sqrt{12}\text{\ \ }и\ \ \]

\[b = \sqrt{12} - \sqrt{11}\]

\[Допустим,\ что\ верно:\]

\[\sqrt{13} - \sqrt{12} < \sqrt{12} - \sqrt{11};\]

\[\sqrt{13} + \sqrt{11} < 2\sqrt{12};\]

\[13 + 2\sqrt{13 \bullet 11} + 11 < 4 \bullet 12;\]

\[24 + 2\sqrt{143} < 48;\]

\[2\sqrt{143} < 24;\]

\[\sqrt{143} < 12;\]

\[143 < 144 - верно.\]

\[Ответ:\ \ a < b.\]