Решебник по алгебре и начала математического анализа 10 класс Алимов Задание 974

\[\boxed{\mathbf{974}\mathbf{.}}\]

\[\text{m\ }и\ n - длины\ диагоналей\ \]

\[параллелограмма:\]

\[m + n = a \rightarrow \ m = a - n.\]

\[\mathbf{Сумма\ квадратов\ всех\ сторон\ }\]

\[\mathbf{параллелограмма\ равна\ сумме\ }\]

\[\mathbf{квадратов\ его\ диагоналей:}\]

\[S(n) = m^{2} + n^{2} = (a - n)^{2} + n^{2}.\]

\[S^{'}(n) = {(a - n)^{2}}^{'} + \left( n^{2} \right)^{'};\]

\[S^{'}(n) = 2 \bullet ( - 1) \bullet (a - n) + 2n =\]

\[= 2 \bullet (n - a + n) = 2 \bullet (2n - a).\]

\[Промежуток\ возрастания:\]

\[2n - a > 0\]

\[2n > a\]

\[n > \frac{a}{2}.\]

\[n = \frac{a}{2} - точка\ минимума;\]

\[S\left( \frac{a}{2} \right) = \left( a - \frac{a}{2} \right)^{2} + \left( \frac{a}{2} \right)^{2} =\]

\[= \left( \frac{a}{2} \right)^{2} + \left( \frac{a}{2} \right)^{2} = 2 \bullet \frac{a^{2}}{4} = \frac{a^{2}}{2}.\]

\[Ответ:\ \ \frac{a^{2}}{2}.\]