Решебник по алгебре и начала математического анализа 10 класс Алимов Задание 954

\[\boxed{\mathbf{954}\mathbf{.}}\]

\[1)\ f(x) = (x + 1)^{4}\]

\[f^{'}(x) = {(x + 1)^{4}}^{'} = 4 \bullet (x + 1)^{3};\]

\[f^{''}(x) = 4 \bullet {(x + 1)^{3}}^{'} =\]

\[= 4 \bullet 3(x + 1)^{2} = 12(x + 1)^{2}.\]

\[Функция\ выпукла\ вниз:\]

\[(x + 1)^{2} > 0\]

\[x + 1 \neq 0\ \]

\[x \neq - 1.\]

\[Ответ:\ \ ( - \infty;\ - 1) \cup ( - 1;\ + \infty).\]

\[2)\ f(x) = x^{4} - 6x^{2} + 4\]

\[f^{'}(x) = \left( x^{4} \right)^{'} - 6 \bullet \left( x^{2} \right)^{'} + (4)^{'};\]

\[f^{'}(x) = 4x^{3} - 6 \bullet 2x + 0 =\]

\[= 4x^{3} - 12x.\]

\[f^{''}(x) = 4 \bullet \left( x^{3} \right)^{'} - (12x) =\]

\[= 4 \bullet 3x^{2} - 12 = 12x^{2} - 12.\]

\[Функция\ выпукла\ вниз:\]

\[12x^{2} - 12 > 0\]

\[x^{2} - 1 > 0\]

\[x^{2} > 1\]

\[x < - 1\ или\ x > 1.\]

\[Ответ:\ \ выпукла\ вниз\ на\ \]

\[( - \infty;\ - 1) \cup (1;\ + \infty);\]

\[выпукла\ вверх\ на\ ( - 1;\ 1).\]

\[3)\ f(x) = \left( x^{2} - 3x + 2 \right) \bullet e^{x}\]

\[= \left( x^{2} + x - 2 \right) \bullet e^{x}.\]

\[Функция\ выпукла\ вниз:\]

\[x^{2} + x - 2 > 0\]

\[D = 1^{2} + 4 \bullet 2 = 1 + 8 = 9\]

\[x_{1} = \frac{- 1 - 3}{2} = - 2;\text{\ \ }\]

\[x_{2} = \frac{- 1 + 3}{2} = 1.\]

\[(x + 2)(x - 1) > 0\]

\[x < - 2\ или\ x > 1.\]

\[Ответ:\ \ выпукла\ вниз\ \]

\[на\ ( - \infty;\ - 2) \cup (1;\ + \infty);\]

\[выпукла\ вверх\ на\ ( - 2;\ 1).\]

\[4)\ f(x) = x^{3} - 6x \bullet \ln x\]

\[f^{'}(x) = 3x^{2} - 6 \bullet \ln x - 6x \bullet \frac{1}{x} =\]

\[= 3x^{2} - 6 \bullet \ln x - 6.\]

\[f^{''}(x) =\]

\[= 3 \bullet \left( x^{2} \right)^{'} - 6 \bullet \left( \ln x \right)^{'} - (6)^{'};\]

\[f^{''}(x) = 3 \bullet 2x - 6 \bullet \frac{1}{x} - 0 =\]

\[= 6 \bullet \left( x - \frac{1}{x} \right).\]

\[Функция\ выпукла\ вниз:\]

\[x - \frac{1}{x} > 0\]

\[x^{3} - x > 0\]

\[x \bullet \left( x^{2} - 1 \right) > 0;\]

\[(x + 1) \bullet x \bullet (x - 1) > 0\]

\[- 1 < x < 0\ или\ x > 1.\]

\[Выражение\ имеет\ смысл\ \]

\[при\ x > 0.\]

\[Ответ:\ \ выпукла\ вниз\ \]

\[на\ (1;\ + \infty);\]

\[выпукла\ вверх\ на\ (0;\ 1).\]