Решебник по алгебре и начала математического анализа 10 класс Алимов Задание 932

\[\boxed{\mathbf{932}\mathbf{.}}\]

\[1)\ y = x \bullet e^{- x};\]

\[\textbf{а)}\ D(x) = ( - \infty;\ + \infty);\]

\[\textbf{б)}\ y^{'}(x) = (x)^{'} \bullet e^{- x} + x \bullet \left( e^{- x} \right)^{'};\]

\[y^{'}(x) = 1 \bullet e^{- x} - x \bullet e^{- x} =\]

\[= e^{- x} \bullet (1 - x);\]

\[\textbf{в)}\ Стационарные\ точки:\]

\[1 - x = 0\ \]

\[x = 1.\]

\[\textbf{г)}\ f(1) = 1 \bullet e^{- 1} = \frac{1}{e};\]

\[\textbf{д)}\ Возрастает\ на\ ( - \infty;\ 1)\ и\ \]

\[убывает\ на\ (1;\ + \infty);\]

\[x = 1 - точка\ максимума.\]

\[\textbf{е)}\ Уравнение\ горизонтальной\ \]

\[асимптоты:\]

\[y = \lim_{x \rightarrow \infty}\left( x \bullet e^{- x} \right) =\]

\[= \lim_{x \rightarrow \infty}\left( \frac{x}{e^{x}} \right) = 0.\]

\[\textbf{ж)}\ \]

\[2)\ y = x \bullet e^{x}\]

\[\textbf{а)}\ D(x) = ( - \infty;\ + \infty);\]

\[\textbf{б)}\ y^{'}(x) = (x)^{'} \bullet e^{x} + x \bullet \left( e^{x} \right)^{'};\]

\[y^{'}(x) = 1 \bullet e^{x} + x \bullet e^{x} =\]

\[= e^{x} \bullet (1 + x);\]

\[\textbf{в)}\ Стационарные\ точки:\]

\[1 + x = 0\ \]

\[x = - 1.\]

\[\textbf{г)}\ f( - 1) = - 1 \bullet e^{- 1} = - \frac{1}{e};\]

\[\textbf{д)}\ Возрастает\ на\ (1;\ + \infty)\ и\ \]

\[убывает\ на\ ( - \infty;\ 1);\]

\[x = - 1 - точка\ минимума.\]

\[\textbf{е)}\ Уравнение\ горизонтальной\ \]

\[асимптоты:\]

\[y = \lim_{x \rightarrow - \infty}\left( x \bullet e^{x} \right) = 0 \bullet 0 = 0.\]

\[\textbf{ж)}\ \]

\[3)\ y = e^{x^{2}}\]

\[\textbf{а)}\ D(x) = ( - \infty;\ + \infty);\]

\[\textbf{б)}\ y^{'}(x) = \left( x^{2} \right)^{'} \bullet \left( e^{u} \right)^{'} =\]

\[= 2x \bullet e^{u} = 2x \bullet e^{x^{2}};\]

\[\textbf{в)}\ Стационарные\ точки:\]

\[2x = 0\]

\[x = 0.\]

\[\textbf{г)}\ f(0) = e^{0^{2}} = e^{0} = 1;\]

\[f(1) = e^{1^{2}} = e^{1} = e.\]

\[\textbf{д)}\ Возрастает\ на\ (0;\ + \infty)\ и\ \]

\[убывает\ на\ ( - \infty;\ 0);\]

\[x = 0 - точка\ минимума.\]

\[\textbf{е)}\ \]

\[4)\ y = e^{- x^{2}}\]

\[\textbf{а)}\ D(x) = ( - \infty;\ + \infty);\]

\[\textbf{б)}\ y^{'}(x) = \left( - x^{2} \right)^{'} \bullet \left( e^{u} \right)^{'} =\]

\[= - 2x \bullet e^{u} = - 2x \bullet e^{- x^{2}};\]

\[\textbf{в)}\ Стационарные\ точки:\]

\[- 2x = 0\]

\[x = 0.\]

\[\textbf{г)}\ f(0) = e^{- 0^{2}} = e^{0} = 1;\]

\[f( \pm 2) = e^{- ( \pm 2)^{2}} = e^{- 4} = \frac{1}{e^{4}}.\]

\[\textbf{д)}\ Возрастает\ на\ ( - \infty;\ 0)\ и\ \]

\[убывает\ на\ (0;\ + \infty);\]

\[x = 0 - точка\ максимума.\]

\[\textbf{е)}\ Уравнение\ горизонтальной\ \]

\[асимптоты:\]

\[y = \lim_{x \rightarrow \infty}e^{- x^{2}} = \lim_{x \rightarrow \infty}\frac{1}{e^{x^{2}}} = 0.\]

\[\textbf{ж)}\ \]