Решебник по алгебре и начала математического анализа 10 класс Алимов Задание 401

$$\boxed{{\displaystyle \mathbf{401.}}}$$

$$1)x^{\lg 9}+9^{\lg x}=6$$

$$x^{\frac{{\log }_{x}9}{{\log }_{x}10}}+9^{\lg x}=6$$

$${\left(x^{{\log }_{x}9}\right)}^{\frac{1}{{\log }_{x}10}}+9^{\lg x}=6$$

$$9^{\frac{1}{{\log }_{x}10}}+9^{\lg x}=6$$

$$9^{\frac{{\log }_{x}x}{{\log }_{x}10}}+9^{\lg x}=6$$

$$9^{\lg x}+9^{\lg x}=6$$

$$2\bullet 9^{\lg x}=6$$

$$9^{\lg x}=3$$

$${\log }_9{9}^{\lg x}={\log }_{9}3$$

$$\lg x={\log }_9{9}^{\frac{1}{2}}$$

$$\lg x=\frac{1}{2}$$

$$\lg x=\lg {10}^{\frac{1}{2}}$$

$$x={10}^{\frac{1}{2}}=\sqrt{10}$$

$$Ответ:x=\sqrt{10}.$$

$$2)x^{3{\lg }^{3}x-\frac{2}{3}\lg x}=100\sqrt[3]{10}$$

$$\lg x^{3{\lg }^{3}x-\frac{2}{3}\lg x}=\lg \left(100\sqrt[3]{10}\right)$$

$$(3{\lg }^{3}x-\frac{2}{3}\lg x)\bullet \lg x=$$

$$=\lg ({10}^2\bullet {10}^{\frac{1}{3}})$$

$$3{\lg }^{4}x-\frac{2}{3}{\lg }^{2}x=\lg {10}^{\frac{7}{3}}$$

$$3{\lg }^{4}x-\frac{2}{3}{\lg }^{2}x=\frac{7}{3}$$

$$Пустьy={\lg }^{2}x:$$

$$3y^2-\frac{2}{3}y=\frac{7}{3}|\bullet 3$$

$$9y^2-2y-7=0$$

$$D=2^2+4\bullet 7\bullet 9=$$

$$=4+252=256$$

$$y_1=\frac{2-16}{2\bullet 9}=-\frac{14}{18}=-\frac{7}{8};$$

$$y_2=\frac{2+16}{2\bullet 9}=\frac{18}{18}=1.$$

$$1){\lg }^{2}x=-\frac{7}{8}$$

$$неткорней.$$

$$2){\lg }^{2}x=1$$

$$\lg x=\pm 1$$

$$\lg x=\lg {10}^{\pm 1}$$

$$x_1={10}^{-1}=0,1$$

$$x_2={10}^1$$

$$x=10.$$

$$Ответ:x_1=0,1;x_2=10.$$