Решебник по алгебре и начала математического анализа 10 класс Алимов Задание 26

\[\boxed{\mathbf{26}\mathbf{.}}\]

\[В\ угол,\ равный\ 60{^\circ},\ \]

\[последовательно\ вписаны\ \]

\[окружности,\ касающиеся\]

\[друг\ друга,\ радиус\ первой\ \]

\[окружности\ равен\ R_{1};\]

\[Рассмотрим\ две\ соседние\ \]

\[окружности\ с\ центрами\ \]

\[в\ точках\ O_{n}\ и\ O_{n + 1}:\]

\[1)\ Радиусы\ окружностей\ \]

\[равны\ R_{n}\ и\ R_{n + 1};\]

\[2)\ Пусть\ точка\ A - вершина\ \]

\[угла,\ и\ окружности\ касаются\ \]

\[одну\ из\ его\ сторон\ \]

\[в\ точках\ A_{n}\ и\ A_{n + 1},\ тогда:\]

\[O_{n}A_{n} = R_{n}\text{\ \ }и\ \ O_{n + 1}A_{n + 1} = R_{n + 1};\]

\[3)\ Опустим\ перпендикуляр\ \]

\[O_{n + 1}B\ на\ отрезок\ O_{n}A_{n},\ тогда:\]

\[O_{n}B = O_{n}A_{n} - A_{n}B =\]

\[= O_{n}A_{n} - A_{n + 1}O_{n + 1} =\]

\[= R_{n} - R_{n + 1};\]

\[4)\ Радиусы\ вписанных\ \]

\[окружностей\ лежат\ \]

\[на\ биссектрисе\ угла,\ значит:\]

\[\angle O_{n}O_{n + 1}B = \angle O_{n}AA_{n} = 30{^\circ};\]

\[5)\ Рассмотрим\ прямоугольный\ \]

\[треугольник\ O_{n}O_{n + 1}B:\]

\[O_{n}B = \frac{1}{2}O_{n}O_{n + 1} =\]

\[= \frac{1}{2}\left( R_{n} + R_{n + 1} \right) = \frac{1}{2}R_{n} + \frac{1}{2}R_{n + 1};\]

\[R_{n} - R_{n + 1} = \frac{1}{2}R_{n} + \frac{1}{2}R_{n + 1}\ \ \ = > \ \]

\[= > \text{\ \ }\frac{1}{2}R_{n} = \frac{3}{2}R_{n + 1}\ \ \ = > \ \ \ R_{n} =\]

\[= 3R_{n + 1};\]

\[q = \frac{R_{n + 1}}{R_{n}} = \frac{R_{n + 1}}{3R_{n + 1}} = \frac{1}{3};\]

\[|q| < 1,\ следовательно\ \]

\[последовательность\ радиусов\ \]

\[окружностей\ составляет\ \]

\[бесконечно\ убывающую\ \]

\[геометрическую\ прогрессию,\]

\[что\ и\ требовалось\ доказать.\]

\[Радиус\ n\text{-}ой\ окружности:\]

\[R_{n} = R_{1} \bullet q^{n - 1} = R_{1} \bullet \left( \frac{1}{3} \right)^{n - 1} =\]

\[= R_{1} \bullet \left( \frac{1}{3} \right)^{n} \bullet \left( \frac{1}{3} \right)^{- 1} = \frac{3R_{1}}{3^{n}};\]

\[Расстояние\ от\ центра\ первой\ \]

\[окружности\ до\ вершины\ угла:\]

\[1)\ Сумма\ радиусов\ всех\ \]

\[окружностей\ кроме\ первой:\]

\[S = \frac{R_{1}}{1 - q} - R_{1} = \frac{R_{1}}{1 - \frac{1}{3}} - R_{1} =\]

\[= R_{1}\ :\frac{2}{3} - R_{1} = \frac{3}{2}R_{1} - R_{1} =\]

\[= \frac{1}{2}R_{1};\]

\[2)\ Рассмотрим\ прямоугольный\ \]

\[треугольник\ AO_{1}A_{1}:\]

\[\angle O_{1}AA_{1} = 30{^\circ};\]

\[O_{1}A_{1} = \frac{1}{2}O_{1}A\ \ \ = > \ \ \ \]

\[= > O_{1}A = 2O_{1}A_{1} = 2R_{1};\]

\[O_{1}A = R_{1} + R_{1} = R_{1} + 2 \bullet \frac{1}{2}R_{1} =\]

\[= R_{1} + 2S =\]

\[= R_{1} + 2\left( R_{2} + R_{3} + \ldots + R_{n} + \ldots \right);\]

\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]

\[Ответ:\ \ R_{n} = \frac{3R_{1}}{3^{n}}.\]