Решебник по алгебре и начала математического анализа 10 класс Алимов Задание 1525

\[\boxed{\mathbf{1525}\mathbf{.}}\]

\[\mathbf{Схематический\ рисунок}\mathbf{:}\]

\[r - радиус\ основания;\]

\[h - высота\ конуса.\]

\[Диаметр\ шара\ является\]

\[гипотенузой\ треугольника:\]

\[r = \sqrt{h \bullet (2R - h)}\]

\[r^{2} = 2Rh - h^{2}.\]

\[V(h) = \frac{1}{3}\text{πh}r^{2} =\]

\[= \frac{1}{3}\pi h \bullet \left( 2Rh - h^{2} \right) =\]

\[= \frac{2}{3}\text{πR}h^{2} - \frac{1}{3}\pi h^{3};\]

\[V^{'}(h) = \frac{2}{3}\text{πR}\left( h^{2} \right)^{'} - \frac{1}{3}\pi\left( h^{3} \right)^{'} =\]

\[= \frac{4}{3}\pi Rh - \pi h^{2}.\]

\[Промежуток\ возрастания:\]

\[\frac{4}{3}\pi Rh - \pi h^{2} > 0\]

\[4\pi Rh - 3\pi h^{2} > 0\]

\[\pi h \bullet (4R - 3h) > 0\]

\[h \bullet (3h - 4R) < 0\]

\[0 < h < \frac{4R}{3}.\]

\[h = \frac{4R}{3} - точка\ максимума.\]

\[Ответ:\ \ \frac{4R}{3}.\]