Решебник по алгебре и начала математического анализа 10 класс Алимов Задание 1523

\[\boxed{\mathbf{1523}\mathbf{.}}\]

\[r\ - радиус\ основания;\]

\[h - высота\ цилиндра.\]

\[Диагональ\ осевого\ сечения\ \]

\[цилиндра\ совпадает\ с\ \]

\[диаметром\ шара:\]

\[(2r)^{2} + h^{2} = d^{2}\]

\[4r^{2} + h^{2} = (2R)^{2}\]

\[h^{2} = 4R^{2} - 4r^{2}\]

\[h = 2\sqrt{R^{2} - r^{2}}.\]

\[S(r) = 2\pi r \bullet h =\]

\[= 2\pi r \bullet 2\sqrt{R^{2} - r^{2}} =\]

\[= 4\left( \text{πr}\sqrt{R^{2} - r^{2}} \right);\]

\[= 4\pi \bullet \frac{\left( R^{2} - r^{2} \right) - r^{2}}{\sqrt{4R^{2} - r^{2}}} =\]

\[= 4\pi \bullet \frac{R^{2} - {2r}^{2}}{\sqrt{4R^{2} - r^{2}}}.\]

\[Промежуток\ возрастания:\]

\[R^{2} - 2r^{2} > 0\]

\[2r^{2} < R^{2}\]

\[r^{2} < \frac{R^{2}}{2}\]

\[- \frac{R}{\sqrt{2}} < r < \frac{R}{\sqrt{2}}.\]

\[r = \frac{R}{\sqrt{2}} - точка\ максимума.\]

\[Ответ:\ \ \frac{R}{\sqrt{2}}.\]