Решебник по алгебре и начала математического анализа 10 класс Алимов Задание 1024

\[\boxed{\mathbf{1024}\mathbf{.}}\]

\[\text{a\ }и\ b - абсцисса\ и\ ордината\ \]

\[точки\ касания:\]

\[y = x^{2} + 1;\ \ \ \ \ \ \ y = 0;\ \ \ \ \]

\[x = 0;\ \ \ \ \ x = 1.\]

\[Уравнение\ касательной:\]

\[y^{'}(a) = \left( x^{2} \right)^{'} + (1)^{'} = 2x + 0 =\]

\[= 2x = 2a\]

\[y(a) = a^{2} + 1\]

\[y = a^{2} + 1 + 2a \bullet (x - a) =\]

\[= a^{2} + 1 + 2ax - 2a^{2} =\]

\[= - a^{2} + 2ax + 1.\]

\[S(a) = \int_{0}^{1}{\left( - a^{2} + 2ax + 1 \right)\text{\ dx}} =\]

\[= \left. \ \left( - a^{2}x + 2a \bullet \frac{x^{2}}{2} + x \right) \right|_{0}^{1} =\]

\[= \left. \ \left( ax^{2} - a^{2}x + x \right) \right|_{0}^{1} =\]

\[= a - a^{2} + 1.\]

\[S^{'}(a) = (a + 1)^{'} - \left( a^{2} \right)^{'} =\]

\[= 1 - 2a.\]

\[Промежуток\ возрастания:\]

\[1 - 2a > 0\]

\[2a < 1\]

\[a < \frac{1}{2}.\]

\[a = \frac{1}{2} - точка\ максимума;\]

\[b = \left( \frac{1}{2} \right)^{2} + 1 = \frac{1}{4} + 1 = 1\frac{1}{4}.\]

\[Ответ:\ \ \left( \frac{1}{2};\ 1\frac{1}{4} \right).\]