Решебник по алгебре и начала математического анализа 10 класс Колягин Задание 684

\[\boxed{\mathbf{684}.}\]

\[1)\ 9^{x} - 4 \bullet 3^{x} + 3 = 0;\]

\[3^{2x} - 4 \bullet 3^{x} + 3 = 0;\]

\[Пусть\ y = 3^{x}:\]

\[y^{2} - 4y + 3 = 0;\]

\[D = 4^{2} - 4 \bullet 3 = 16 - 12 = 4\]

\[y_{1} = \frac{4 - 2}{2} = 1\ \ и\]

\[\text{\ \ }y_{2} = \frac{4 + 2}{2} = 3;\]

\[Первое\ значение:\]

\[3^{x} = 1;\]

\[3^{x} = 3^{0}\]

\[x = 0;\]

\[Второе\ значение:\]

\[3^{x} = 3;\]

\[3^{x} = 3^{1};\]

\[x = 1;\]

\[Ответ:\ \ x_{1} = 0;\ \ x_{2} = 1.\]

\[2)\ 16^{x} - 17 \bullet 4^{x} + 16 = 0;\]

\[4^{2x} - 17 \bullet 4^{x} + 16 = 0;\]

\[Пусть\ y = 4^{x}:\]

\[y^{2} - 17y + 16 = 0;\]

\[D = 17^{2} - 4 \bullet 16 =\]

\[= 289 - 64 = 225\]

\[y_{1} = \frac{17 - 15}{2} = 1\ \ и\ \]

\[\ y_{2} = \frac{17 + 15}{2} = 16;\]

\[Первое\ значение:\]

\[4^{x} = 1;\]

\[4^{x} = 4^{0};\]

\[x = 0;\]

\[Второе\ значение:\]

\[4^{x} = 16;\]

\[4^{x} = 4^{2};\]

\[x = 2;\]

\[Ответ:\ \ x_{1} = 0;\ \ x_{2} = 2.\]

\[3)\ 25^{x} - 6 \bullet 5^{x} + 5 = 0;\]

\[5^{2x} - 6 \bullet 5^{x} + 5 = 0;\]

\[Пусть\ y = 5^{x}:\]

\[y^{2} - 6y + 5 = 0;\]

\[D = 6^{2} - 4 \bullet 5 = 36 - 20 = 16\]

\[y_{1} = \frac{6 - 4}{2} = 1\ \ и\]

\[\text{\ \ }y_{2} = \frac{6 + 4}{2} = 5;\]

\[Первое\ значение:\]

\[5^{x} = 1;\]

\[5^{x} = 5^{0};\]

\[\ x = 0;\]

\[Второе\ значение:\]

\[5^{x} = 5;\]

\[5^{x} = 5^{1};\]

\[x = 1;\]

\[Ответ:\ \ x_{1} = 0;\ \ x_{2} = 1.\]

\[4)\ 64^{x} - 8^{x} - 56 = 0;\]

\[8^{2x} - 8^{x} - 56 = 0;\]

\[Пусть\ y = 8^{x}:\]

\[y^{2} - y - 56 = 0;\]

\[D = 1^{2} + 4 \bullet 56 =\]

\[= 1 + 224 = 225\]

\[y_{1} = \frac{1 - 15}{2} = - 7\ \ и\ \ \]

\[y_{2} = \frac{1 + 15}{2} = 8;\]

\[Первое\ значение:\]

\[8^{x} = - 7 - нет\ корней:\]

\[Второе\ значение:\]

\[8^{x} = 8;\]

\[8^{x} = 8^{1};\]

\[x = 1;\]

\[Ответ:\ \ x = 1.\]