Решебник по алгебре и начала математического анализа 10 класс Колягин Задание 285

\[\boxed{\mathbf{285}.}\]

\[a;b - катеты;\]

\[c = 2n + 1 - гипотенуза.\]

\[По\ теореме\ Пифагора:\ \]

\[\ c^{2} = a^{2} + b^{2}.\]

\[1)\ a = 2m;b = 2k:\]

\[(2n + 1)^{2} = (2m)^{2} + (2k)^{2}\]

\[\underset{нечетное}{\overset{4n^{2} + 4n + 1}{︸}} = \underset{четное}{\overset{4m^{2}}{︸}} + \underset{четное}{\overset{4k^{2}}{︸}}\]

\[невозможно.\]

\[2)\ a = 2m;\ \ b = 2k + 1:\]

\[(2n + 1)^{2} = (2m)^{2} + (2k + 1)^{2}\]

\[\underset{нечетное}{\overset{4n^{2} + 4n + 1}{︸}} =\]

\[= \underset{нечетное}{\overset{4m^{2} + 4k^{2} + 4k + 1}{︸}}\]

\[возможно.\]

\[Аналогично\ выполняется,\ \]

\[если\ a = 2m + 1;b = 2k.\]

\[3)\ a = 2m + 1;\ \ b = 2k + 1:\]

\[(2n + 1)^{2} = (2m + 1)^{2} +\]

\[+ (2k + 1)^{2}\]

\[\underset{нечетное}{\overset{4n^{2} + 4n + 1}{︸}} =\]

\[= \underset{четное}{\overset{4m^{2} + 4m + 1 + 4k^{2} + 4k + 1}{︸}}\]

\[невозможно.\]

\[Следовательно:\]

\[катеты\ могут\ быть\ только\ \]

\[разной\ четности.\]

\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]